10.5: Ejercicios

1. El objetivo al suavizar los datos es mejorar la relación señal/ruido sin distorsionar la señal subyacente. Los datos en el archivo problem10_1.csv constan de cuatro columnas de datos: el vector x, que contiene 200 valores para trazar en el eje x; el vector y, que contiene 200 valores para una función de paso que satisface los siguientes criterios

$$y = 0 \text{ for } x \le 75 \text{ and for } x \ge 126 \nonumber$$

$$y = 1 \text{ for } 75 < x < 126 \nonumber$$

el vector n, que contiene 200 valores extraídos de distribución normal aleatoria con una media de 0 y desviación estándar de 0.1, y el vector s, que es la suma de y y n. En esencia, y es la señal pura, n es el ruido y s es una señal ruidosa. Con estos datos, complete las siguientes tareas:

(a) Determinar la señal media, la desviación estándar del ruido y la relación señal/ruido para la señal ruidosa usando solo los datos en los objetos s.

(b) Explorar el efecto de aplicar a la señal ruidosa, una pasada cada uno de los filtros de promedio móvil de anchuras 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17. Para cada filtro de promedio móvil, determine la señal media, la desviación estándar del ruido y la relación señal/ruido. Organiza estas medidas usando una tabla y comenta tus resultados. Prepare una sola gráfica que muestre la señal ruidosa original y las señales suavizadas usando anchos de 5, 9, 13 y 17, desplazando cada una de manera que se muestren las cinco señales. Comenta tus resultados.

c) Repetir los cálculos de (b) utilizando filtros de suavizado cuadráticos/cúbicos Savitzky-Golay de anchuras 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17; ver el papel original para los coeficientes de cada filtro.

(d) Considerando sus resultados para (b) y para (c), ¿qué filtro y qué ancho proporciona la mayor mejora en la relación señal/ruido con la menor distorsión de la función de paso de la señal original? Asegúrate de justificar tu elección.

2. El archivo problem10_2.csv consta de dos columnas, cada una con 1024 puntos: x es un índice para el eje x e y es datos ruidosos con un indicio de una señal. Demuestre que hay una señal en este archivo usando cualquier promedio móvil o filtro de suavizado Savitzky-Golay de su elección y usando un filtro de Fourier. Presente sus resultados en una sola figura que muestre la señal original, la señal después del suavizado y la señal después del filtrado de Fourier. Comenta tus resultados.

3. El problema del archivo 10_3.csv consta de seis columnas: x es un índice para el eje x e y1, y2, y3, y4 e y5 son señales superpuestas sobre un fondo variable. Use un filtro de segunda derivada cúbica de nueve puntos Savitzky-Golay para eliminar el fondo de los datos y luego construir un modelo de calibración usando estos resultados, e informar la ecuación de calibración y una gráfica de la curva de calibración. Consulte el documento original para conocer los coeficientes del filtro.