14.2: Ley Stokes
- Page ID
- 69673
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
¿Cómo se relaciona la resistencia macroscópica de un fluido al flujo con la fricción microscópica originada en fuerzas aleatorias entre las moléculas del fluido? Al discutir la ecuación de Langevin, notamos que el coeficiente de fricción\(\zeta\) fue la constante de proporcionalidad entre la fuerza de arrastre experimentada por un objeto y su velocidad a través del fluido:\(f_d=-\zeta v\). Dado que esta fuerza de arrastre es igual y opuesta a la tensión ejercida sobre un objeto a medida que se mueve a través de un fluido, existe una relación de la fuerza de arrastre con la viscosidad del fluido. 
En concreto, podemos demostrar que el coeficiente de fricción de Einstein, se relaciona con la viscosidad dinámica del fluido\(\eta\), así como con otros factores que describen el tamaño y la forma del objeto (pero no su masa).
Esta conexión es posible como resultado de la descripción de George Stokes del campo de velocidad del fluido alrededor de una esfera que se mueve a través de un fluido viscoso a una velocidad constante. Consideró asfera de radio R moviéndose a través de un fluido con flujo laminar: aquel en el que el fluido exhibe perfiles de velocidad paralelos suaves sin mezcla lateral. Bajo esas condiciones, y condiciones de límite antideslizamiento, uno encuentra que la fuerza de arrastre en una esfera es
\( f_d = 6\pi \eta R_hv \)
y la fuerza viscosa por unidad de área es completamente uniforme en toda la superficie de la esfera. Esto nos da la Ley Stokes
\[ \zeta = 6\pi \eta R_h \]
Aquí Rh se conoce como el radio hidrodinámico de la esfera, el radio en el que se puede aplicar la condición de límite antideslizante, pero que a escala molecular puede incluir agua que está fuertemente unida a la molécula. Combinando la ecuación (1) con la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión,\(D=k_BT/\zeta\) da la relación Stokes — Einstein para la constante de difusión de traducción de una esfera 1
\[D_{trans} = \dfrac{k_BT}{6\pi \eta R_h} \]
Se puede obtener una relación similar Stokes — Einstein para la difusión orientacional de una esfera en un fluido viscoso. Relacionando la constante de difusión orientacional y la fuerza de arrastre que surge de la resistencia al cizallamiento, se obtiene
\[ D_{rot} = \dfrac{k_BT}{6V_h\eta } \nonumber \]
________________________________________
- B. J. Berne y R. Pecora, Dispersión dinámica de luz: con aplicaciones a la química, la biología y la física. (Wiley, Nueva York, 1976), pp. 78, 91.