2.2: Radiación de cuerpo negro

Un fenómeno experimental que no pudo explicarse adecuadamente por la física clásica fue la radiación de cuerpo negro. Los objetos calientes emiten radiación electromagnética. Los quemadores de la mayoría de las estufas eléctricas brillan en rojo en su configuración más alta. Si tomamos una pieza de metal y la calentamos en una llama, comienza a brillar, de color rojo oscuro al principio, luego quizás blanco o incluso azul si la temperatura es lo suficientemente alta. Un objeto muy caliente emitiría una cantidad significativa de energía en la región ultravioleta del espectro, y las personas son emisores de energía en el otro extremo del espectro. Podemos ver esta energía infrarroja mediante el uso de gafas de visión nocturna. El espectro exacto depende de las propiedades del material y de la temperatura. Un cuerpo negro es un objeto ideal que emite todas las frecuencias de radiación con una distribución espectral que depende únicamente de la temperatura y no de su composición. La radiación emitida por tal objeto se llama radiación de cuerpo negro. La radiación de cuerpo negro se puede obtener experimentalmente a partir de un orificio en una cavidad hueca que se mantiene a una temperatura constante.

Se encontró que la intensidad observada de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda varía con la temperatura. Los intentos de explicar o calcular esta distribución espectral a partir de la teoría clásica fueron fallas completas. Una teoría desarrollada por Rayleigh y Jeans predijo que la intensidad debería ir al infinito a longitudes de onda cortas. Dado que la intensidad en realidad cae a cero a longitudes de onda cortas, el resultado de Rayleigh-Jeans se llamó la “catástrofe ultravioleta”. No hubo acuerdo entre teoría y experimento en la región ultravioleta del espectro de cuerpo negro. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Las curvas de distribución de radiación de Planck y experimental (azul) y Rayleigh-Jeans (rojo) muestran la densidad de radiación para cada modelo a 4000 K en función de la longitud de onda.

Max Planck fue el primero en explicar con éxito la distribución espectral de la radiación de cuerpo negro. Dijo que la radiación resultó de oscilaciones de electrones. De manera similar, las oscilaciones de electrones en una antena producen ondas de radio. Con perspicacia revolucionaria y creatividad, Planck se dio cuenta de que para explicar la distribución espectral, necesitaba asumir que la energía E de los electrones oscilantes estaba cuantificada y proporcional a múltiplos enteros de la frecuencia ν

\[ E = nh \nu \label{2-1}\]

donde n es un número entero y h es una constante de proporcionalidad. Posteriormente pudo derivar una ecuación (Ecuación\(\ref{2-2}\)) que dio excelente concordancia con las observaciones experimentales para todas las temperaturas siempre que se utilizara el valor de\(6.62618 \times 10^{-34}\) Julio.seg para h. Esta nueva constante fundamental, que es un componente esencial de la Mecánica Cuántica, ahora se llama La constante de Planck. La constante de Boltzmann,\(k_B\), y la velocidad de la luz (c), también aparecen en la ecuación.

\[\rho (\lambda, T) d \lambda = \frac {8 \pi hc}{\lambda ^5} \frac {d \lambda}{ e^{\frac {hc}{\lambda k_B T}} - 1} \label{2-2}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilice la ecuación para mostrar que las unidades de ρ (λ, T) dλ son las\(J/m^3\) esperadas para una densidad de energía.

La ecuación\(\ref{2-2}\) da ρ (λ, T) dλ, la densidad de radiación (\(J/m^3\)) entre λ y λ + dλ dentro de la cavidad desde la cual se emite la radiación de cuerpo negro. Los parámetros en la ecuación son la constante de Planck, la velocidad de la luz, la constante de Boltzmann, la temperatura y la longitud de onda. El acuerdo entre la teoría de Planck y la observación experimental proporcionó una fuerte evidencia de que la energía del movimiento electrónico en la materia está cuantificada. En las dos secciones siguientes, veremos que la energía transportada por la luz también se cuantifica en unidades de h\(\bar {\nu}\). Estos paquetes de energía se llaman “fotones”.

Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

Utilice la ecuación de Planck para preparar gráficos generados por computadora que muestren cómo ρ (λ, T), que es la densidad de radiación de cuerpo negro por nm, varía con la longitud de onda a diversas temperaturas. Usa estas gráficas para explicar por qué el blanco caliente es más caliente que al rojo vivo. Se proporciona un enlace de archivo Mathcad como ventaja inicial para este ejercicio.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Utilice los resultados de Ejercicio\(\PageIndex{2}\) para preparar una gráfica generada por computadora de\(λ_{max}\), que es el pico (o máximo) de las funciones trazadas en Ejercicio\(\PageIndex{1}\), en función de T. Describir cómo el color de la luz emitida desde el cuerpo negro varía con la temperatura.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilice los resultados de Ejercicio\(\PageIndex{4}\) para estimar la temperatura de color de la luz solar (que tiene un máximo a 480 nm) y la temperatura de una bombilla de tungsteno (que tiene un máximo a 1035 nm.)