2.7: Derivación de la ecuación de Rydberg a partir del modelo de Bohr

Bohr postuló que los electrones existían en órbitas o estados que tenían energías discretas. Por lo tanto, queremos calcular la energía de estos estados y luego tomar las diferencias en estas energías para obtener la energía que se libera como luz cuando un electrón realiza una transición de un estado a uno de menor energía.

Debido a que el protón es mucho más masivo que el electrón, podemos considerar que el protón está fijo y que el electrón gira alrededor de él. Para el caso general, dos partículas giran alrededor de su centro de masa, y esta rotación puede describirse como la rotación de una sola partícula con una masa reducida.

Para explicar el espectro de luminiscencia del hidrógeno, escribimos la energía, E, de una órbita o estado del átomo de hidrógeno como la suma de la energía cinética,\(T\), y la energía potencial,\(V\), del electrón giratorio. La energía potencial es solo la energía de Coulomb para dos partículas con cargas\(q_1\) y\(q_2\).

\[E = T + V \label {2-12}\]

\[T = \frac {1}{2} m_e v^2 \label {2-13}\]

y

\[V = \frac {q_1q_2}{4\pi \epsilon _0 r} = \frac {(Ze) (-e)}{4 \pi \epsilon _0 r} = \frac {-Ze^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \label {2-14}\]

En general es la carga sobre un núcleo atómico\(Ze\), donde\(Z\) está el número de protones en el núcleo. La carga en un solo protón es simplemente la constante fundamental para la carga unitaria\(e\), y la carga en un electrón es\(–e\). El factor\(4πε_0\) se debe al uso de unidades SI, y ε es la permitividad del espacio libre (\(8.85419 × 10^{-12} C^2N^{-1}m^{-2}\)).

Aunque\(Z = 1\) para el átomo de hidrógeno,\(Z\) se retiene en la Ecuación\(\ref{2-14}\) y ecuaciones posteriores por lo que los resultados se aplican a cualquier ion de un electrón también (e.g.\(He^+, Li^{2+}\), etc.).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que 1\(C^2N^{-1}m^{-2}\) es equivalente a 1 F/m.

Al invocar el Teorema del Virial para las fuerzas electrostáticas, podemos determinar los radios de la órbita y la energía del electrón giratorio, derivar la ecuación de Rydberg y calcular un valor para la constante de Rydberg. Este teorema dice que la energía total del sistema es igual a la mitad de su energía potencial y también igual a la negativa de su energía cinética.

\[E = \frac {V}{2} = -T \label {2-15}\]

El Teorema del Virial tiene una importancia fundamental tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica. Tiene muchas aplicaciones en química más allá de su uso aquí. La palabra virial proviene del vocablo latino para fuerza, vires, y el Teorema Virial resulta de un análisis de las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas cargadas. Se dispone de una prueba de la validez de este teorema para el átomo de hidrógeno.

El Teorema Virial permite obtener la energía total de la energía potencial si tenemos el radio, r, de la órbita en Ecuación\(\ref{2-14}\). Podemos obtener el radio de la órbita expresando primero la energía cinética\(T\) en términos del momento angular\(M\),

\[T = \frac {M^2}{2m_er^2} \label {2-16}\]

donde\(M = m_evr\).

Usando el Teorema Virial, Ecuación\(\ref{2-15}\), para equiparar las expresiones para\(V/2\) y\(-T\) (Ecuaciones\(\ref{2-14}\) y\(\ref{2-16}\)), introduciendo la propuesta de Bohr de que\(M\) se cuantifica el momento angular,\(M = nhbar\), y resolviendo para r da

\[r_n = \frac {\pi \epsilon _0 \hbar ^2 n^2}{m_e Z e^2} \label {2-17}\]

Observe en la ecuación\(\ref{2-17}\) cómo la cuantificación del momento angular da como resultado la cuantificación de los radios de las órbitas. El radio más pequeño, para la órbita con\(n = 1\), se llama el radio de Bohr y se denota por\(a_0\).

\[a_0 = 52.92 \, pm = 0.5292\, Å \label {2-18}\]

Sustituyendo Ecuaciones\(\ref{2-14}\) y\(\ref{2-17}\) en Ecuación\(2-15\) para la energía total da

\[ E_n = \frac {-m_e Z^2 e^4}{8 \epsilon ^2_0 h^2 n^2} \label {2-19}\]

lo que demuestra que también se cuantifica la energía del electrón. La ecuación\(\ref{2-19}\) da las energías de los estados electrónicos del átomo de hidrógeno. Es muy útil en el análisis de espectros para representar gráficamente estas energías en un diagrama de niveles de energía. Un diagrama de nivel de energía tiene la energía trazada en el eje vertical con una línea horizontal dibujada para ubicar cada nivel de energía.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Calcular la energía potencial, la energía cinética y la energía total para hidrógeno cuando r = 52.92 pm.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dibuje un diagrama de nivel de energía para el átomo de hidrógeno. Etiquetar cada nivel de energía con el número cuántico n y el radio de la órbita correspondiente.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Calcule un valor para el radio de Bohr usando Ecuación\(\ref{2-17}\) para verificar que esta ecuación sea consistente con el valor 52.9 pm. Cuál sería el radio para n = 1 en el\(Li^{2+}\) ion.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

¿Cómo varían los radios de las órbitas de hidrógeno con n? Preparar una gráfica que muestre r en función de n. ¿A qué familia de curvas pertenece esta gráfica? Se han preparado estados de átomos de hidrógeno con n = 200. ¿Cuál es el diámetro de los átomos en estos estados? Identificar algo más de este tamaño.

Para explicar el espectro de luminiscencia del átomo de hidrógeno, Bohr dijo que la luz de frecuencia νif se produce cuando un electrón va de una órbita con n = i (“i” representa “inicial”) a una órbita de menor energía con n = f (“f” representa “final”), con i > f. es decir, la energía del fotón es igual a la diferencia en energías de las dos órbitas o estados de átomos de hidrógeno asociados con la transición.

\[ E_{photon} = h \nu _{if} = E_i - E_f = \Delta E_{if} = \frac {me^4}{8 \epsilon ^2_0 h^2} \left ( \frac {1}{f^2} - \frac {1}{i^2} \right ) \label {2-20}\]

Usando\(\nu _{if} = c \bar {\nu} _{if}\) convierte la ecuación (2.20) de frecuencia a unidades de número de onda,

\[\bar {\nu} _{if} = \frac {me^4}{8 \epsilon ^2_0 h^3} \left ( \frac {1}{f^2} - \frac {1}{i^2} \right ) \label {2-21}\]

Cuando nos identificamos\(R_H\) con la relación de constantes en el lado derecho de la Ecuación (2-21), obtenemos la ecuación de Rydberg con la constante de Rydberg como en la Ecuación (2-22).

\[ R_H = \frac {me^4}{8 \epsilon ^2_0 h^3 } \label {2-22}\]

Evaluar\(R_H\) a partir de las constantes fundamentales en esta fórmula da un valor dentro del 0.5% del obtenido experimentalmente del espectro de átomos de hidrógeno.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Calcular la energía de un fotón que se produce cuando un electrón en un átomo de hidrógeno va de una órbita con n = 4 a y órbita con n = 1. ¿Qué sucede con la energía del fotón a medida que el valor inicial de n se acerca al infinito?