3.3: Invención de la ecuación de Schrödinger

De la sección anterior, se discutió la ecuación de onda clásica en una dimensión:

\[\frac {\partial ^2 A (x, t)}{\partial x^2} = \nu ^{-2} \frac {\partial ^2 A (x, t)}{\partial t^2} \label {3-11}\]

Aunque se utilizó una función sinusoidal para obtener la ecuación de onda clásica, funciones distintas de la función sinusoidal pueden sustituirse\(A\) en la Ecuación\ ref {3-11}. Nuestro objetivo como químicos es buscar un método para encontrar las funciones de onda que sean apropiadas para describir electrones, átomos y moléculas. Para alcanzar este objetivo, necesitamos la ecuación de onda adecuada.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que las funciones\(e^{i(k x + ωt)}\) y\(\cos(k\,x - \omega\, t)\) también satisfacen la ecuación de onda clásica (Ecuación\ ref {3-11}). Tenga en cuenta que\(i\) es una constante igual a\(\sqrt {-1}\).

Un método general para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales que dependen de más de una variable (\(x\)y\(t\) en este caso) es separar las variables en diferentes términos. Esta separación permite escribir la solución como producto de dos funciones, una de la que depende\(x\) y otra de la que depende\(t\). Esta importante técnica se llama el Método de Separación de Variables. Esta técnica se utiliza en la mayoría de las aplicaciones que vamos a estar considerando.

Para la ecuación de onda clásica, Ecuación\ ref {3-11}, separar variables es muy fácil porque\(x\) y\(t\) no aparecen juntas en el mismo término en la ecuación diferencial. De hecho, están en lados opuestos de la ecuación. Las variables ya han sido separadas, y sólo tenemos que ver qué sucede cuando sustituimos una función de producto en esta ecuación. Es común en la Mecánica Cuántica simbolizar las funciones que son soluciones a la ecuación de Schrödinger como\(\psi\)\(\psi\)\(\phi\), o, así usamos\(\Phi (x)\) como la\(x\) función -y examinar las consecuencias de usar\(\cos (ωt)\) como una posibilidad para la\(t\) función -.

\[\psi(x,t) = ψ(x) cos(ωt) \label{3-12}\]

Después de sustituir la Ecuación\ ref {3-12} en la onda clásica Ecuación\ ref {3-11} y diferenciando, obtenemos

\[ \cos (\omega t ) \dfrac {\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2} = -\dfrac {\omega ^2}{\nu ^2} \psi (x) \cos (\omega t) \label{3-13}\]

lo que arroja, después de simplificar y reorganizar,

\[ \dfrac {\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2} + \dfrac {\omega ^2}{\nu ^2} \psi (x) = 0 \label{3-14}\]

Ahora incluimos la idea de que estamos tratando de encontrar una ecuación de onda para una partícula. Introducimos el momento de la partícula usando la relación de Broglie para reemplazar\(\dfrac {ω^2}{v^2}\) con\(\dfrac {p^2}{ħ^2}\), where\(ħ = \dfrac {h}{2π}\) (llamada h-bar).

\[ \dfrac {\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2} + \dfrac {p^2}{\hbar ^2} \psi (x) = 0 \label{3-15}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que\(\dfrac {ω^2}{v^2}\) =\(\dfrac {p^2}{ħ^2}\).

A continuación utilizaremos la energía total de una partícula como la suma de la energía cinética y la energía potencial para reemplazar el impulso en la Ecuación.

\[ E = T + V (x) = \dfrac {p^2}{2m} + V (x) \label{3-16}\]

Tenga en cuenta que hemos incluido la idea de que la energía potencial es una función de la posición. Cada sistema atómico o molecular que consideraremos en los siguientes capítulos tendrá diferentes funciones energéticas potenciales.

Resolver Ecuación\(p^2\) y sustituirla\(\ref{3-16}\) por Ecuación nos\(\ref{3-15}\) da la Ecuación de Schrödinger,

\[ \dfrac {\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2} + \dfrac {2m}{\hbar ^2} (E - V (x)) \psi (x) = 0 \label{3-17}\]

que por lo general se escribe en forma reorganizada,

\[ \dfrac {\hbar ^2}{2m} \dfrac {\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2} + V (x) \psi (x) = E \psi (x) \label{3-18}\]

Observe que el lado izquierdo de la Ecuación\(\ref{3-18}\) consiste en los dos términos correspondientes a la energía cinética y la energía potencial. Cuando miramos el lado izquierdo de la Ecuación\(\ref{3-18}\), podemos deducir un método para extraer la energía total de una función de onda conocida, o podemos usar Ecuación\(\ref{3-18}\)) para encontrar la función de onda. Encontrar funciones de onda para modelos de fenómenos químicos interesantes será una de las tareas que realizaremos en este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar los pasos que conducen de Ecuaciones\(\ref{3-11}\) y\ ref {3-12} a la Ecuación\ ref {3-18}.

Más precisamente, la Ecuación\ ref {3-18} es la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa que\(m\) se mueve en una dimensión (x) en un campo potencial especificado por\(V(x)\). Como esta ecuación no contiene tiempo, a menudo se le llama Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo. Como se mencionó anteriormente, funciones como ψ (x) se llaman wavefuntions porque son soluciones a esta ecuación de onda. El término, onda, simplemente denota comportamiento o propiedades oscilatorias. El significado de la función de onda se aclarará a medida que avancemos. Por ahora, ψ (x) es la función ondulada que da cuenta o describe las propiedades onduladas de las partículas.

La ecuación de Schrödinger para una partícula que se mueve en tres dimensiones (x, y, z) se obtiene simplemente agregando los otros términos de la segunda derivada e incluyendo la función tridimensional de energía potencial. La función wavefunction ψ entonces depende de las tres variables x, y y z.

\[ \dfrac {-\hbar ^2}{2m} \left ( \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2} + \dfrac {\partial ^2}{\partial y^2} + \dfrac {\partial ^2}{\partial z^2} \right ) \psi (x , y , z ) + V (x , y , z) \psi (x , y , z ) = E \psi (x , y , z ) \label{3-19}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa m que se mueve en un espacio bidimensional con la energía potencial dada por

\[V(x, y) = -\dfrac {(x^2 + y^2)}{2}.\]

Las derivadas de tres segundos entre paréntesis juntas se denominan operador laplaciano, o del-cuadrado,

\[ \nabla^2 = \left ( \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2} + \dfrac {\partial ^2}{\partial y^2} + \dfrac {\partial ^2}{\partial z^2} \right ) \label {3-20}\]

con el operador del,

\[\nabla = \left ( \vec {x} \dfrac {\partial}{\partial x} + \vec {y} \dfrac {\partial}{\partial y} + \vec {z} \dfrac {\partial }{\partial z} \right ) \label{3-21}\]

también se utiliza en Mecánica Cuántica. Recuerda, los símbolos con flechas sobre ellos son vectores unitarios.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escribe el operador del-y el operador laplaciano para dos dimensiones y reescribe tu respuesta a Ejercicio\(\PageIndex{4}\) en términos del operador laplaciano.