3.4: Operadores, funciones propias, valores propios y estados propios

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Al operador laplaciano se le llama operador porque le hace algo a la función que sigue: a saber, produce o genera la suma de las tres segundas derivadas de la función. Por supuesto, esto no se hace automáticamente; debes hacer el trabajo, o recordar usar este operador correctamente en manipulaciones algebraicas. Los símbolos para operadores a menudo (aunque no siempre) se denotan con un sombrero ^ sobre el símbolo, a menos que el símbolo se use exclusivamente para un operador, por ejemplo\(\nabla\) (del/nabla), o no implique diferenciación, por ejemplo,\(r\) para la posición.

Recordemos, que podemos identificar al operador de energía total, que se llama operador hamiltoniano,\(\hat{H}\), como que consiste en el operador de energía cinética más el operador de energía potencial.

\[\hat {H} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 + \hat {V} (x, y , z ) \label{3-22}\]

Usando esta notación escribimos la ecuación de Schrödinger como

\[ \hat {H} \psi (x , y , z ) = E \psi ( x , y , z ) \label{3-23}\]

El hamiltoniano

El término hamiltoniano, que lleva el nombre del matemático irlandés Hamilton, proviene de la formulación de la Mecánica Clásica que se basa en la energía total,

\[H = T + V\]

en lugar de la segunda ley de Newton,

\[\vec{F} = m\vec{a}\]

La ecuación\(\ref{3-23}\) dice que el operador hamiltoniano opera sobre la función de onda para producir la energía, que es un número, (una cantidad de julios), multiplicado por la función de onda. Tal ecuación, donde el operador, operando sobre una función, produce una constante multiplicada por la función, se denomina ecuación de valor propio. La función se llama función propia, y el valor numérico resultante se llama el valor propio. Eigen aquí está la palabra alemana que significa yo o propio.

Es un principio general de la Mecánica Cuántica que hay un operador para cada físico observable. Un físico observable es cualquier cosa que se pueda medir. Si la función de onda que describe un sistema es una función propia de un operador, entonces el valor del observable asociado se extrae de la función propia operando en la función propia con el operador apropiado. El valor de lo observable para el sistema es el valor propio, y se dice que el sistema está en un estado propio. Ecuación\(\ref{3-23}\) establece este principio matemáticamente para el caso de la energía como lo observable.