3.5: Operadores Momentum

Una de las tareas que debemos ser capaces de hacer a medida que desarrollamos la representación mecánica cuántica de un sistema físico es reemplazar las variables clásicas en expresiones matemáticas con los operadores mecánicos cuánticos correspondientes. En el apartado anterior se identificaron operadores para la energía total y la energía cinética. Los posibles operadores energéticos se introducirán caso por caso en los siguientes capítulos. En los párrafos restantes, nos centraremos en el operador de momentum.

Los operadores de impulso ahora se pueden obtener del operador de energía cinética. Dado que la expresión clásica de la energía cinética de una partícula que se mueve en una dimensión, a lo largo del eje x, es

\[T_x = \frac {P^2_x}{2m} \label{}\]

esperamos que

\[\hat {T} _x = \frac {P^2_x}{2m} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {\partial ^2}{ \partial x^2} \label{}\]

así podemos identificar al operador para el cuadrado del x-momentum como

\[\hat {P ^2_x} = - \hbar ^2 \frac {\partial ^2}{\partial x^2} \label{}\]

Dado que\(\hat {P ^2_x}\), puede interpretarse en el sentido de\(\hat {P} _x . \hat {P} _x\), existen dos posibilidades para\(\hat {P} _x\), a saber,

\[\hat {P} _x = i\hbar \frac {\partial}{\partial x}\]

o

\[ \hat {P} _x = -i\hbar \frac {\partial}{\partial x} \label{}\]

donde\(i = \sqrt {-1}\). La segunda posibilidad es la mejor opción, como se explica a continuación.

Al tomar esta decisión, considere la\(e^{ikx}\) función. Esta función es una función propia de ambas formas posibles para el operador de momentum. Este hecho se puede utilizar para elegir qué forma del operador de impulso usar.

Problemas

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) Demostrar que la función\(e^{ikx}\) es una función propia de cualquiera de los operadores de momentum.

Plan: Comience con\(\hat {P} _x \psi (x) = P_x \psi (x) \) dónde\(ψ (x) = e^{ikx}\).

Operar\(ψ(x) = e^{ikx}\) con\(\pm i\hbar \frac {\partial}{\partial x}\) para mostrar eso\(P_x = \mp \hbar k\).

¿Cuál prefieres,\(p_x = +ħk\) o\(p_x = -ħk\)?

Si utilizamos el operador de impulso que tiene el signo -, obtenemos el impulso y el vector de onda apuntando en la misma dirección\(p_x = +ħk\), que es el resultado preferido correspondiente a la relación de Broglie.

La revisión de vectores y productos escalares puede ayudarte con los siguientes ejercicios.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\) Mostrar gráficamente, usando un diagrama vectorial unitario, eso\(\vec {x} \cdot \vec {x} = 1 \text {and} \vec {x} \cdot \vec {y} = 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\) Considera una partícula moviéndose en tres dimensiones. El impulso total, que es un vector, es\(p = \vec {x} P_x + \vec {y} P_y + \vec {z} P_z\)

donde\(\vec {x}, \vec {y}, and \vec {z}\) están los vectores unitarios apuntando en las direcciones x, y y z, respectivamente. Escriba los operadores para el impulso de esta partícula en las direcciones x, y y z, y muestre que el operador de impulso total\(-i \hbar \nabla = - i \hbar \left ( \vec {x} \frac {\partial}{\partial x} + \vec {y} \frac {\partial}{\partial y} + \vec {z} \frac {\partial}{\partial z} \right )\) es el operador vectorial llamado del (nabla). Demostrar que el producto escalar\( \nabla \cdot \nabla\) produce el operador laplaciano.

Ejercicio\(\PageIndex{14}\) siguiente al ejercicio\(\PageIndex{11}\), muestran que la relación de Broglie se\(p = \frac {h}{λ}\) deriva de la definición del operador de impulso y la función propia de impulso para un espacio unidimensional.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\) Escribe la función de onda para un electrón que se mueve en la dirección z con una energía de 100 eV. La forma de la función de onda es\(e^{ikz}\). Es necesario encontrar el valor para k. Obtener el impulso del electrón operando en la función de onda con el operador de impulso.