3.6: La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, se utiliza para encontrar la dependencia temporal de la función de onda. Esta ecuación relaciona la energía con la primera derivada de tiempo análoga a la ecuación de onda clásica que involucró la segunda derivada de tiempo. Esta ecuación,

\[ \hat {H} (r , t) \psi (r, t) = i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi (r , t) \label {3-28}\]

donde\(r\) representa las coordenadas espaciales (x, y, z), deben usarse cuando el operador hamiltoniano depende del tiempo, por ejemplo, cuando un campo externo dependiente del tiempo hace que la energía potencial cambie con el tiempo.

Aunque el hamiltoniano no dependa del tiempo, podemos usar esta ecuación para encontrar la dependencia temporal\(φ(t)\) de las funciones propias de\(\hat{H}(r)\). Primero escribimos la función de onda\(Ψ(r,t)\) como producto de una función espacial (\(ψ(r)\)) y una función de tiempo (\(\varphi (t)\)) y la sustituimos en la Ecuación\ ref {3-28}.

\[ Ψ (r , t ) = \psi (r) \varphi (t) \label {3-29}\]

Utilizamos una función de producto porque las variables espacio y tiempo están separadas en la Ecuación\ ref {3-28} cuando el operador hamiltoniano no depende del tiempo. Dado que\(ψ(r)\) es una función propia de\(\hat{H}(r)\) con valor propio\(E\), esta sustitución conduce a la Ecuación\ ref {3-31}

\[ \hat {H} (r) \psi (r) \varphi (t) = i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi (r) \varphi (t) \]

\[E \psi (r) \varphi (t) = i\hbar \psi (r) \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) \label {3-30}\]

que se reorganiza a

\[ \frac {d \varphi (t)}{\varphi (t)} = \frac {-iE}{\hbar} dt \label {3-31}\]

La integración da

\[\varphi (t) = e^{-i \omega t} \label {3-32}\]

estableciendo la constante de integración en 0 y usando la definición\(ω = \frac {E}{ħ}\). Así, vemos que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo contiene la condición\(E = ħω\) propuesta por Planck y Einstein.

Por lo tanto, las funciones propias de un hamiltoniano independiente del tiempo tienen una dependencia oscilatoria del tiempo dada por una función compleja, es decir, una función que involucra\(\sqrt {-1}\).

\[Ψ(r,t) = ψ(r)e^{ − iωt} \label {3-33}\]

Cuando las moléculas son descritas por tal función propia, se dice que están en un estado propio del operador hamiltoniano independiente del tiempo. Veremos que todas las propiedades observables de una molécula en un estado propio son constantes o independientes del tiempo porque el cálculo de las propiedades a partir de la función propia no se ve afectado por la dependencia temporal de la función propia. Una función de onda con esta dependencia oscilatoria del tiempo e-iωt, por lo tanto, se llama función de estado estacionario.

Cuando un sistema no es un estado estacionario, la función de onda puede ser representada por una suma de funciones propias como las anteriores. En esta situación, la dependencia oscilatoria del tiempo no cancela en los cálculos, sino que da cuenta de la dependencia temporal de los observables físicos. Se ofrecen ejemplos en el Capítulo 4, Actividad 2, y Capítulo 5, Actividad 1.

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Completa los pasos que van desde la Ecuación\ ref {3-28} a la Ecuación\ ref {3-33}.

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Mostrar que la Ecuación\ ref {3-33} es una solución a la Ecuación\ ref {3-28} cuando el operador hamiltoniano no depende del tiempo y\(ψ(r)\) es una función propia del operador hamiltoniano.

Este podría ser un buen momento para revisar números complejos