3.8: Valores de expectativa

Se puede hacer una deducción importante si multiplicamos el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger por\(\psi^*(x)\), integramos sobre todos los valores de\(x\), y examinamos el término de energía potencial que surge. Podemos deducir que la integral energética potencial proporciona el valor promedio de la energía potencial. De igual manera podemos deducir que la integral de energía cinética proporciona el valor promedio para la energía cinética. Esto se muestra en la Ecuación\(\ref{3-35}\). Si generalizamos esta conclusión, tales integrales dan el valor promedio para cualquier cantidad física utilizando el operador correspondiente a ese físico observable en la integral. En la siguiente ecuación, el símbolo\(\left \langle H \right \rangle\) se utiliza para denotar el valor promedio de la energía total.

\[ \left \langle H \right \rangle = \int \limits ^{\infty}_{-\infty} \psi ^* (x) \hat {H} \psi (x) dx = \underset{\text {kinetic energy term} }{ \int \limits ^{\infty}_{-\infty} \psi ^* (x) \left ( \frac {-\hbar ^2}{2m} \right ) \frac {\partial ^2 }{ \partial x^2} \psi (x) dx} + \underset{ \text {Potential energy term} }{\int \limits ^{\infty}_{-\infty} \psi ^* (x) V (x) \psi (x) dx} \label{3-35}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Evaluar las dos integrales en Ecuación\(\ref{3-35}\) para la función de onda\(ψ(x) = \sin(kx)\) y la función potencial\(V(x) = x\).

El operador hamiltoniano consiste en un término de energía cinética y un término de energía potencial. El operador de energía cinética implica la diferenciación de la función de onda a la derecha de la misma. Este paso debe completarse antes de multiplicarse por el complejo conjugado de la función de onda. La energía potencial, sin embargo, suele depender únicamente de la posición y no del impulso. El operador de energía potencial, por lo tanto, solo involucra las coordenadas de una partícula y no implica diferenciación. Por esta razón no necesitamos usar un caret over\(V\) en Ecuación\(\ref{3-35}\). Por ejemplo, el potencial armónico en una dimensión es\(½kx^2\). (Nota: aquí\(k\) está la constante de fuerza y no el vector de onda. Desafortunadamente al igual que las palabras, un símbolo puede tener más de un significado, y el significado debe ser obtenido del contexto.) La integral de energía potencial involucra entonces solo productos de funciones, y el orden de multiplicación no afecta el resultado, por ejemplo 6×4 = 4×6 = 24. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa. Por lo tanto, la integral energética potencial puede escribirse como

\[ \left \langle V \right \rangle = \int \limits ^{\infty}_{-\infty} V (x) \psi ^* (x) \psi (x) dx \label{3-36}\]

Esta integral nos está diciendo que tomemos la probabilidad de que la partícula esté en el intervalo\(dx\) at\(x\), es decir\(ψ^*(x)ψ(x)dx\), multiplicar esta probabilidad por la energía potencial en\(x\), y suma (es decir, integrar) sobre todos los valores posibles de\(x\). Este procedimiento es solo la forma de calcular la energía potencial promedio\(\left \langle V \right \rangle\) de la partícula. Por lo tanto, esta integral se denomina integral de valor promedio o integral de expectación-valor porque da el resultado promedio de un gran número de mediciones de la energía potencial de la partícula.

Cuando un operador implica diferenciación, no conmuta con las funciones de onda, p.

\[ \psi ^* (x) \frac {\partial ^2}{\partial x^2} \psi (x) \ne \psi ^* (x) \psi (x) \frac {\partial ^2}{\partial x^2} \ne \frac {\partial ^2}{\partial x^2}( \psi ^*(x) \psi (x) ) \label{3-37}\]

pero la interpretación de la integral de energía cinética en Ecuación\(\ref{3-35}\) es la misma que para la energía potencial. Esta integral da la energía cinética promedio de la partícula.

Estas integrales de valor de expectativa son muy importantes en la Mecánica Cuántica. Nos proporcionan los valores promedio de las propiedades físicas (por ejemplo, energía, impulso o posición) porque en muchos casos no se pueden determinar valores precisos, ni siquiera en principio. Si conocemos el promedio de alguna cantidad, también es importante saber si la distribución es estrecha, es decir, todos los valores están cerca del promedio, o amplios, es decir, muchos valores difieren considerablemente del promedio. El ancho de una distribución se caracteriza por su varianza.