6.5: Túnel mecánico cuántico

La tunelización mecánica cuántica es consecuencia del hecho de que una molécula vibrante tiene una probabilidad significativa de estar en la región del espacio clásicamente prohibida, es decir, más allá del límite clásico. Supongamos que en lugar de tener un potencial armónico para el desplazamiento de un átomo desde su posición de equilibrio, uno tiene un doble potencial de pozo con una barrera de potencial-energía finita entre los dos lados como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un potencial de doble pozo. La energía potencial de un átomo en función de su posición en el espacio.

¿Cómo podrían verse las funciones de onda para la posición del átomo, u otra partícula como un electrón, con este tipo de potencial? Una aproximación inicial razonable sería considerar una función de onda del oscilador armónico en cada pozo. Debido a su aproximación asintótica al cero, las funciones se extienden a la región de la barrera, es decir, a la región clásicamente prohibida. Estas funciones pueden incluso conectarse entre sí si la barrera no es demasiado alta o demasiado ancha. La conexión de las dos funciones significa que una partícula que comienza en el pozo del lado izquierdo tiene una probabilidad finita de hacer un túnel a través de la barrera y ser encontrada en el lado derecho aunque la energía de la partícula sea menor que la altura de la barrera. Según la mecánica clásica, la partícula quedaría atrapada en el lado izquierdo si no tuviera suficiente energía para pasar por encima de la barrera. En mecánica cuántica, la partícula puede hacer un túnel a través de la barrera. Una barrera de energía no necesariamente restringe un sistema mecánico cuántico a una determinada región del espacio porque las funciones de onda pueden penetrar a través de la región de barrera. Se ha propuesto la tunelización para explicar la transferencia de electrones en algunas reacciones enzimáticas y dar cuenta de mutaciones de pares de bases de ADN como átomo de hidrógeno en túneles de enlace de hidrógeno a través de la barrera desde el átomo electronegativo de una base hasta el átomo electronegativo en la base asociada.

¿Qué queremos decir cuando decimos que algo así como la tunelización ocurre cuántica mecánicamente pero no clásicamente? Queremos decir que la mecánica clásica no es una descripción adecuada de la forma en que se comporta el mundo atómico. La mecánica clásica funciona bien para objetos macroscópicos pero no para objetos nanoscópicos. La importancia de la masa y la constante de Planck para determinar si un objeto puede describirse clásicamente o no puede ser ilustrada por el Principio de Incertidumbre. Cuando el Principio de Incertidumbre,

\[\Delta x \Delta p > \frac {\hbar}{2},\]

y la relación entre el momento y la longitud de onda,

\[p = \dfrac{h}{λ} \nonumber\]

se aplicó a objetos macroscópicos como una pelota de béisbol. Se encontró que las incertidumbres y longitud de onda son tan pequeñas en comparación con las dimensiones macroscópicas que las propiedades de onda de estos objetos no son detectables. Las masas grandes se pueden describir clásicamente porque la constante de Planck es muy pequeña. Las situaciones examinadas en los siguientes párrafos consideran la tunelización en esta misma línea.

Primero nos fijamos en el caso de un protón. ¿Es razonable pensar que un protón puede atravesar una barrera potencial? Considere un enlace de hidrógeno entre dos bases emparejadas en una hélice de ácido nucleico y la función de energía potencial de doble pozo resultante similar a la ilustrada en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Esbozar funciones potencial-energía para cada uno de los enlaces de hidrógeno en un par de bases guanina-citosina. Describa cómo sus dibujos reflejan la naturaleza del emparejamiento de bases que se muestra en los libros de texto estándar de bioquímica.

Queremos comparar\(Q_0\), el desplazamiento clásico máximo del protón, con la separación de los pozos potenciales, d, que tomamos como ancho de la barrera potencial a la mitad de su altura. Si d es mucho mayor que\(Q_0\), la tunelización no sería probable porque la función de onda, que cae muy rápidamente (exponencialmente), se volvería extremadamente pequeña, esencialmente cero dentro de la barrera a medida que Q aumenta más allá\(Q_0\). Por otro lado, si d no es demasiado mayor que\(Q_0\), entonces la función de onda seguirá teniendo un valor significativo distinto de cero en el lado posterior de la barrera y será probable la tunelización.

La velocidad a la que la función de onda se aproxima a cero en la región de barrera depende tanto de la altura como del ancho de la barrera. A medida que aumenta la altura de la barrera, el ancho debe ser más pequeño para que el túnel sea significativo, pero aún podemos tener una idea de si la tunelización es razonable o no comparando la separación de los pozos potenciales con\(Q_0\). Para un protón unido a hidrógeno entre dos centros electronegativos, d se ha calculado que es aproximadamente 0.1 nm (aproximadamente 10% de una longitud de enlace N-H) y\(Q^2_0 = \frac {\hbar}{m \omega}\) dando\(Q_0\) = 0.01 nm. Dado que d es solo 10 veces mayor que Q0 en esta estimación, la tunelización no puede excluirse como una posibilidad real.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Obtener un valor para\(Q_0\) usando la masa de un protón y una frecuencia vibratoria característica para un enlace NH u OH (3300 cm ^-1).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Identifique lo que le sucede\(Q_0\), la relación\(\frac {d}{Q_0}\) y sus expectativas de tunelización a medida que aumenta la masa de la partícula, por ejemplo, si el protón fue reemplazado por un deuterón.

Figura\(\PageIndex{2}\): Un ejemplo macroscópico de un potencial de doble pozo.

Ahora considere un sistema macroscópico para su comparación. Supongamos que usted y su bicicleta están atrapados en un valle a una colina de distancia de su casa en el siguiente valle. Estás en tu estado energético más bajo, y tienes 1000 m para ir. ¿A qué conclusión llegamos si le aplicamos las estimaciones anteriores para la probabilidad de tunelización? Queremos utilizar\(Q^2_0 \approx \frac {\hbar}{m \omega}\) para estimar tu desplazamiento máximo desde el fondo del valle y compararlo con la distancia a tu valle de origen. Por ejemplo, podemos darte una masa de 100 kg y una frecuencia de oscilación entre las dos colinas que forman el valle de ω = 2π/100 s. Tu masa es 29 órdenes de magnitud (factores de diez) mayor que la de un protón, y tu frecuencia de oscilación es 16 órdenes de magnitud menor que la de un protón. Esta frecuencia significa que se necesitan 100 s para completar un ciclo rodando de un lado a otro entre las dos colinas que forman el valle en el que se encuentra. La mayor masa domina la menor frecuencia con el resultado de que tu Q0 es de 10 ^-18 m, y el cerro que necesitas cruzar es de 1000 m de ancho,\(d \approx 10^3\) m. Un ciclista en el estado cuántico de energía más baja tiene un desplazamiento máximo de 10-18 nm (^10-27 m) y una distancia al túnel de aproximadamente 103 m. La tunelización en estas condiciones no es un evento probable porque la distancia a recorrer es mucho mayor que el desplazamiento máximo. Un ciclista no tendría la oportunidad en toda la vida de llegar a casa sin generar suficiente energía para cabalgar sobre la colina. ¿Qué pasaría si la constante de Planck fuera mucho mayor? Si h fueran 10 ⁷ J s, entonces la tunelización también sería importante para objetos masivos como las personas, y nos haría la vida más fácil e interesante.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verificar que si h = 10 ⁷ J s entonces la tunelización sería importante para las personas.