6.S: Estados Vibracionales (Ejercicios)

Q6.1

Demostrar para uno o dos casos que las funciones de onda del oscilador armónico forman un conjunto ortonormal.

Q6.2

Mostrar que el comportamiento del oscilador armónico para el estado v = 0 es consistente con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg al calcular el producto de las desviaciones estándar para desplazamiento e impulso, i.e\(\sigma _Q \sigma _P\). Se puede expresar\(\sigma _Q \sigma _P\) en términos de<Q>,

,<Q2>, y<p2>.

Q6.3

Complete lo siguiente:

1. Para v = 0 vibraciones de HF, HCl y HBr calculan las desviaciones estándar para los desplazamientos del equilibrio. Las frecuencias vibracionales están dadas por 4139, 2886 y 2559\(cm^{-1}\).
2. Utilizar la desviación estándar en el desplazamiento así como el desplazamiento máximo posible clásico (\(Q_0\)) para caracterizar la amplitud vibratoria del estado fundamental y comparar estas cantidades con una estimación de las longitudes de enlace en estas moléculas obtenidas de los radios covalentes atómicos para H (37 pm), F (72 pm), Cl (99 pm), y Br (114pm).
3. ¿Qué porcentaje de la longitud del enlace original son estos desplazamientos característicos? ¿Esta longitud de unión cambia significativamente durante una vibración?
4. ¿Qué propiedades moleculares determinan la amplitud vibratoria? ¿Cómo depende la amplitud vibratoria de estas propiedades?
5. Explicar las diferencias en las amplitudes vibracionales para estas tres moléculas.

Q6.4

Complete lo siguiente:

1. Utilice el modelo de oscilador armónico para describir la vibración del nitrógeno y preparar un gráfico de Mathcad que muestre la función de energía potencial. La frecuencia vibracional viene dada por 2360\(cm^{-1}\).
2. Marque la energía del estado v = 8 en su gráfica de la energía potencial con una línea horizontal. Prepare otra gráfica que muestre la función de onda del oscilador armónico v = 8 y la función de densidad de probabilidad.
3. En ambas gráficas, marcar el límite clásico al desplazamiento del oscilador con la energía en (b) desde su posición de equilibrio.
4. Describir la probabilidad de encontrar el oscilador a diversas distancias de la posición de equilibrio. ¿En qué se diferencia el oscilador mecánico cuántico del oscilador clásico en este sentido?

Q6.5

Complete lo siguiente

1. ¿Aparecen bandas no deseadas por oxígeno, nitrógeno, agua y dióxido de carbono en el aire en los espectros infrarrojos de muestras químicas?
2. ¿Para cuántos modos normales hay\(H_2O\)? ¿Cuántos de estos son activos por infrarrojos?
3. ¿Para cuántos modos normales y modos activos por infrarrojos hay\(CO_2\)?
4. Busque las frecuencias vibracionales del agua y el dióxido de carbono en los libros de la biblioteca sobre espectroscopia y haga bocetos de los espectros IR de baja resolución que usted esperaría. Incluye armónicos, combinaciones y bandas calientes. Las referencias clave sobre las vibraciones moleculares son las vibraciones moleculares de Wilson, Decius y Cross and Infrared y Raman Spectra de Herzberg.

Q6.6

1. Complete lo siguiente:
   1. Comparar los potenciales y las funciones de onda para el oscilador armónico y la partícula en una caja. Resumir las similitudes y las diferencias.
   2. ¿La regla de selección del oscilador armónico Δv = ±1 es casi o aproximadamente cierta también para la partícula en una caja?
   3. ¿Por qué esperarías que esta regla de selección sea aproximadamente válida o que falle completamente para la partícula en una caja?

Q6.7

Otro modelo que a menudo se aplica a las moléculas es el oscilador Morse. La energía potencial para el oscilador Morse tiene la siguiente forma:

\[V(x) = D_e (1 - e^{-\beta x})^2,\]

donde x es el desplazamiento del oscilador desde su posición de equilibrio,\(D_e\) y y\(\beta\) son constantes o parámetros.

1. ¿A qué valor de\(x\)\(V(x)\) es mínimo?
2. ¿Qué es\(V(x)\) cuando\(x\) se vuelve muy grande?
3. ¿Qué sucede a\(V(x)\) medida que\(x\) se convierte en un gran número negativo?
4. Basado en sus respuestas a\(a\),, y\(b\)\(c\), bosquejar un gráfico de\(V(x)\) vs\(x\).
5. A partir de su gráfica, identifique el parámetro en el potencial Morse que llamaría la energía de disociación de equilibrio.
6. ¿En qué se diferencia la energía de disociación de equilibrio en el potencial Morse de la energía de disociación de enlace real a 0 K?
7. Marque, usando flechas y etiquetas, la energía de disociación de equilibrio y la energía de disociación de enlaces en su gráfica.
8. Expandir\(V(x)\) en una serie de potencias y mostrar que la constante de fuerza para un potencial armónico correspondiente viene dada por\(k = 2D_e \beta ^2\).
9. Los parámetros\(D_e\) y\(\beta\) generalmente se evalúan para moléculas específicas a partir de frecuencias vibracionales observadas. Usando valores obtenidos para HCl (\(D_e = 7.31 \times 10^{-19}\)J,\(\beta\) =\(1.82 \times 10^{10} m^{-1}\)), graficar en la misma gráfica tanto el potencial Morse como el potencial armónico para HCl. Al hacer su parcela, use\(x = R - R_e\), dónde\(R\) está la separación internuclear, y Re es la longitud del enlace de equilibrio, 127.5 pm.
10. ¿Qué percepciones, especialmente con respecto a la idea de anarmonicidad, obtiene comparando las parcelas que construyó en la parte anterior (arriba) del potencial Morse y el potencial armónico?

Q6.8

1. Esbozar un doble potencial de pozo para el enlace de hidrógeno encontrado entre oxígeno y nitrógeno en un par de bases G-C de ADN. ¿De qué lado del diagrama está el nitrógeno? Dibuje la función de onda con v = 0 para el enlace N-protón. Dibuja una continuación de la función de onda hacia la región prohibida y más allá hacia el lado del oxígeno del enlace. ¿Cómo crees que se verá la función de onda en el lado del oxígeno del enlace? Utilice las amplitudes relativas según lo predicho por la distribución de probabilidad para la función de onda para predecir la probabilidad de encontrar el protón en el lado oxígeno del enlace de hidrógeno. Si la doble cadena de ADN se separó justo en el momento en que el protón estaba en el lado oxígeno de la molécula, y esta situación se mantuvo estable por un periodo de tiempo que es más largo del requerido para la mayoría de las reacciones bioquímicas, cuáles podrían ser las consecuencias para la replicación o transcripción usando esta cadena mutada de ADN? Es posible que necesite revisar algunas bioquímicas, especialmente las estructuras de pares de bases unidas por hidrógeno para completar este problema.

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