8.6: Otros sistemas de un electrón

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El tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno se puede extender fácilmente a otros sistemas de un electrón como\(\ce{He^{+}}\)\(\ce{Li^{2+}}\),, etc. El hamiltoniano cambia en dos lugares. Lo más importante es que el término de energía potencial se cambia para dar cuenta de la carga del núcleo, que es el número atómico del átomo o ion\(Z\),, veces la unidad fundamental de carga,\(e\). Como se muestra en la Ecuación\ ref {8.6.1}, la energía de atracción entre el electrón y el núcleo aumenta (es decir,\(V\) se vuelve más negativa) a medida que aumenta la carga nuclear.

\[ \hat {V} (r) = - \dfrac {Z e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \label {8.6.1}\]

El otro efecto es un cambio muy ligero en la masa reducida incluida en el operador de energía cinética. De hecho, cuanto más grande es el núcleo, mejor es la aproximación de que la masa reducida viene dada por la masa del electrón.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Comparar la masa reducida del\(Li^{+2}\) ion con la del átomo de hidrógeno.

Los efectos del cambio en el\(V\) show up en las funciones de onda y los valores propios de la energía. La expresión de la energía se convierte

\[ E_n = - \frac {Z^2 \mu e^4}{8 \epsilon ^2_0 h^2 n^2} = Z^2 E_{n, H} \label {8.6.2}\]

donde\(E_{n, H}\) está la energía del átomo de hidrógeno. Las formas de las funciones de onda son idénticas a las del átomo de hidrógeno, salvo por el hecho de que\(Z\) en las funciones radiales ya no es igual a 1. Las reglas de selección no han cambiado, y el efecto Zeeman aún ocurre.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice la expresión del nivel de energía orbital en la Ecuación\ ref {8.6.2} para predecir cuantitativamente las energías relativas (in\(cm^{-1}\)) de las líneas espectrales para H y\(Li^{2+}\).

Como\(\PageIndex{1}\) revelan las gráficas de la Figura, el aumento de la carga en el núcleo crea una atracción más fuerte para el electrón y así las distribuciones de densidad de carga electrónica se desplazan a valores más pequeños de\(r\). Estos otros sistemas se parecen mucho a los átomos de hidrógeno comprimidos.

alt — Figura\(\PageIndex{1}\): Funciones de distribución radial trazadas para los orbitales 2s de H (azul),\(He^+\) (rojo) y\(Li^{2+}\) (negro) en el mismo eje, demostrando la compresión del orbital a medida que Z se incrementa de 1 a 3.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Determinar si los valores de momento angular, las funciones armónicas esféricas y las reglas de selección espectroscópica que describen al electrón son iguales o diferentes para\(\ce{Li^{2+}}\).\(\hat{H}\) Escribe un párrafo para justificar tu respuesta.