8.5: Descubriendo el espín de electrones
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Imagínese hacer un experimento hipotético que conduciría al descubrimiento del espín electrónico. Su laboratorio acaba de adquirir un espectrómetro de microondas con capacidad de campo magnético variable. Probamos el nuevo instrumento con átomos de hidrógeno utilizando un campo magnético de 10 4 Gauss y buscamos la absorción de la radiación de microondas mientras escaneamos la frecuencia de nuestro generador de microondas.
Finalmente vemos absorción a una frecuencia de fotones de microondas de\(28 \times 10^9\, Hz\) (28 gigahercios). Este resultado es realmente sorprendente desde varias perspectivas. Cada átomo de hidrógeno se encuentra en su estado fundamental, con el electrón en un orbital de 1s. La transición electrónica de energía más baja que predecimos con base en la teoría existente (la transición electrónica del estado fundamental (\(\psi _{100}\)a\(\psi _{21m}\)) requiere una energía que se encuentra en el vacío ultravioleta, no en el microondas, región del espectro. Además, cuando variamos el campo magnético observamos que la frecuencia a la que se produce la absorción varía en proporción al campo magnético. Este efecto parece un efecto Zeeman, pero si piensas en la situación, incluso si el orbital 1s estuviera doblemente degenerado, un\(1s\) orbital todavía tiene un momento angular orbital cero, ningún momento magnético, ¡y por lo tanto ningún efecto Zeeman predicho!
Para descubrir cosas nuevas, los experimentalistas a veces deben explorar nuevas áreas a pesar de predicciones teóricas contrarias. Nuestra teoría del átomo de hidrógeno en este punto no da ninguna razón para buscar absorción en la región de microondas del espectro. Al hacer este loco experimento, descubrimos que cuando un electrón está en el\(1s\) orbital del átomo de hidrógeno, hay dos estados diferentes que tienen la misma energía. Cuando se aplica un campo magnético, se elimina esta degeneración, y la radiación de microondas puede provocar transiciones entre los dos estados. En el resto de esta sección, vemos lo que se puede deducir de esta observación experimental. Este experimento en realidad podría realizarse con espectrómetros de resonancia de espín electrónico disponibles hoy en día.
Para explicar nuestras observaciones, necesitamos una nueva idea, un nuevo modelo para el átomo de hidrógeno. Nuestro modelo original para el átomo de hidrógeno representó el movimiento del electrón y el protón en nuestro mundo tridimensional; el nuevo modelo necesita algo más que pueda dar lugar a un efecto adicional parecido a Zeeman. Necesitamos una partícula cargada con momento angular para producir un momento magnético, igual que el obtenido por el movimiento orbital del electrón. Podemos postular que nuestra observación resulta de un movimiento del electrón que no fue considerado en la última sección: espín electrónico. Tenemos una partícula cargada girando sobre su eje. Entonces tenemos carga moviéndose en círculo, momento angular, y un momento magnético, que interactúa con el campo magnético y nos da el efecto zeemano que observamos.
Para describir el espín electrónico desde una perspectiva mecánica cuántica, debemos tener funciones de onda de espín y operadores de espín. Las propiedades de los estados de espín se deducen de observaciones experimentales y por analogía con nuestro tratamiento de los estados que surgen del momento angular orbital del electrón.
La característica importante del electrón giratorio es el vector de momento angular de espín, que etiquetamos\(S\) por analogía con el momento angular orbital\(L\). Definimos operadores de momento angular de giro con las mismas propiedades que encontramos para los operadores de momento angular rotacional y orbital. Después de todo, el momento angular es el momento angular.
Encontramos que (en notación Bra-Ket)
\[ \hat {L}^2 | Y^{m_l} _l \rangle= l(l + 1) \hbar^2 | Y^{m_l}_l \rangle \label {8-41}\]
así que por analogía para los estados de giro, debemos tener
\[ \hat {S}^2 | \sigma ^{m_s} _s \rangle = s( s + 1) \hbar ^2 | \sigma ^{m_s}_s \rangle \label {8-42}\]
donde\(\sigma\) es una función de onda de espín con números cuánticos\(s\) y\(m_s\) que obedecen las mismas reglas que los números cuánticos\(l\) y\(m_l\) asociadas con la función de onda armónica esférica\(Y\). También encontramos
\[ \hat {L}_z | Y^{m_l}_l \rangle = m_l \hbar | Y^{m_l}_l \rangle \label {8-43}\]
así que por analogía, debemos tener
\[ \hat {S}_z | \sigma ^{m_s}_s \rangle = m_s \hbar | \sigma ^{m_s}_s \rangle\label {8-44}\]
Dado que\(m_l\) varía en pasos enteros de\(-l\) a\(+l\), también por analogía\(m_s\) varía en pasos enteros de\(-s\) a\(+s\). En nuestro experimento hipotético, observamos una transición de absorción, lo que significa que hay dos estados de espín. En consecuencia, los dos valores de\(m_s\) deben ser\(+s\) y\(-s\), y la diferencia en\(m_s\) para los dos estados, etiquetados f e i a continuación, debe ser el paso entero más pequeño, es decir, 1. El resultado de esta lógica es que
\[ \begin{align} m_{s,f} - m_{s,i} &= 1 \nonumber \\[4pt] (+s) - (-s) &= 1 \nonumber \\[4pt] 2s &= 1 \nonumber \\[4pt] s &= \dfrac {1}{2} \end{align} \label {8-45} \]
Por lo tanto, nuestra conclusión es que la magnitud del número cuántico de espín es 1/2 y los valores para ms son +1/2 y -1/2. Los dos estados de giro corresponden a girar en sentido horario y antihorario con proyecciones positivas y negativas del momento angular de giro sobre el eje z. Se llama al estado con proyección positiva,\(m_s\) = +1/2\(\alpha\); al otro se le llama\(\beta\). Estos estados de espín se etiquetan arbitrariamente\(\alpha\) y\(\beta\), y las funciones de onda de espín asociadas también son designadas por\(\alpha\) y\(\beta\).
De la Ecuación\ ref {8-44} la magnitud del componente z del momento angular de giro,\(S_z\), viene dada por
\[S_z = m_s \hbar \label {8-46}\]
por lo que el valor de\(S_z\) es\(+ħ/2\) para el estado de giro\(\alpha\) y\(-ħ/2\) para el estado de giro\(\beta\). Usando la misma línea de razonamiento que usamos para la división de los\(m_l\) estados en la Sección 8.4, concluimos que el estado de\(\alpha\) giro, donde el momento magnético está alineado con la dirección del campo externo, tiene una energía mayor que el estado de\(\beta\) giro.
A pesar de que no conocemos sus formas funcionales, las funciones de onda de espín se toman para ser normalizadas y ortogonales entre sí.
\[ \int \alpha ^* \alpha d \tau _s = \int \beta ^* \beta d \tau _s = 1 \label {8-47}\]
y
\[ \int \alpha ^* \beta d \tau _s = \int \beta ^* \alpha d \tau _s = 0 \label {8-48}\]
donde la integral está sobre la variable de giro\(\tau _s\).
Ahora vamos a aplicar estas deducciones a las observaciones experimentales en nuestro hipotético experimento de microondas. Podemos explicar la frecuencia de la transición (\(\nu\)= 28 gigahercios) que se observó en este hipotético experimento en términos del momento magnético del electrón giratorio y la fuerza del campo magnético. La energía fotónica\(h \nu\),, viene dada por la diferencia entre las energías de los dos estados,\(E_{\alpha}\) y\(E_{\beta}\)
\[ \Delta E = h \nu = E_{\alpha} - E_{\beta} \label {8-49}\]
Las energías de estos dos estados consisten en la suma de la energía de un electrón en un orbital 1s,\(E_{1s}\), y la energía debida a la interacción del momento dipolo magnético de espín del electrón,\(\mu _s\), con el campo magnético, B (como en la Sección 8.4). Los dos estados con valores distintos para el momento magnético de espín\(\mu _s\) se denotan por los subíndices\(\alpha\) y\(\beta\).
\[ E_{\alpha} = E_{1s} - \mu _{s,\alpha} \cdot B \label {8-50}\]
\[ E_{\beta} = E_{1s} - \mu _{s,\beta} \cdot B \label {8-51}\]
Sustituir las dos ecuaciones anteriores en la expresión por la energía fotónica da
\[\begin{align} h \nu &= E_{\alpha} - E_{\beta} \\[4pt] &= (E_{1s} - \mu _{s, \alpha} \cdot B) - (E_{1s} - \mu_{s,\beta} \cdot B) \label {8-52} \\[4pt] &= ( \mu _{s, \beta} - \mu _{s, \alpha}) \cdot B \label{8-53} \end{align}\]
Nuevamente por analogía con el momento angular orbital y el momento magnético discutidos en la Sección 8.4, tomamos el dipolo magnético de giro de cada estado de giro\(\mu _{s, \beta}\),\(\mu _{s, \alpha}\) y, para estar relacionado con el momento angular de giro total de cada estado,\(S_{\alpha}\) y\(S_{\beta}\), por un giro constante relación giromagnética\(\gamma _s\), como se muestra a continuación.
\[ \mu _s = \gamma _s S\]
\[\mu _{s, \alpha} = \gamma _s S_\alpha \]
\[\mu _{s, \beta} = \gamma _s S_\beta \label {8-54}\]
Con la dirección del campo magnético definida como z, el producto escalar en la Ecuación\ ref {8-53} se convierte en un producto de los componentes z del momento angular de giro,\(S_{z, \alpha}\) y\(S_{z, \beta}\), con el campo magnético externo.
Insertando los valores para\(S_{z,\alpha} = +\dfrac {1}{2} \hbar \) y\( S_{z, \alpha} = -\dfrac {1}{2} \hbar\) desde la ecuación\ ref {8-46} y reordenando la ecuación\ ref {8-53} rendimientos
\[ \dfrac {h \nu}{B} = - \gamma _s \hbar \label {8-56}\]
Calcular la relación\(\dfrac {h \nu}{B}\) a partir de nuestros resultados experimentales\(B = 10^4\, gauss\),\(\nu = 28 \times 10^9\, Hz\) cuando, nos da un valor para
\[- \gamma_s \hbar = 18.5464 \times 10^{-21}\, erg/gauss.\]
Este valor es aproximadamente el doble del magnetón Bohr,\(-\gamma _e \hbar \) con\(\gamma _s \hbar = 2.0023, \gamma _e \hbar\), o
\[\gamma _s = 2.0023 \gamma _e \label {8-57}\]
El factor de 2.0023 se llama factor g y explica la desviación de la relación giromagnética de espín del valor esperado para el movimiento orbital del electrón. En otras palabras, da cuenta de la transición de espín que se observa donde está en lugar de donde estaría si se mantiene la misma relación entre el momento magnético y el momento angular para los movimientos orbitales y de espín. El valor 2.0023 se aplica a un electrón que gira libremente; el acoplamiento del giro y el movimiento orbital de los electrones pueden producir otros valores para\(g\).
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Llevar a cabo los cálculos que muestren que el factor g para espín electrónico es 2.0023.
Curiosamente, el concepto de espín electrónico y el valor g = 2.0023 siguen lógicamente de la teoría cuántica relativista de Dirac, que está más allá del alcance de esta discusión. Aquí se introdujo el espín electrónico como postulado para explicar observaciones experimentales. Los científicos suelen introducir dichos postulados paralelos al desarrollo de la teoría de la que se deduce naturalmente la propiedad.
Ahora que hemos descubierto el espín electrónico, necesitamos determinar cómo cambia el espín electrónico cuando la radiación es absorbida o emitida, es decir, ¿cuáles son las reglas de selección para el espín electrónico de un solo electrón? A diferencia del momento angular orbital, que puede tener varios valores, el momento angular de giro puede tener solo el valor
\[ |S| = \sqrt {s (s + 1) \hbar } = \dfrac {\sqrt {3}}{2} \hbar \label {8-58}\]
Dado que s = ½, una regla de selección de giro es
\[\Delta s = 0 \label {8-59}\]
Cuando se aplica un campo magnético a lo largo del eje z para eliminar la\(m_s\) degeneración, otro campo magnético aplicado en la dirección x o y ejerce una fuerza o par sobre el dipolo magnético para girarlo. Este campo transversal puede “voltear el giro” y cambiar la proyección en el eje z de\(\dfrac {1}{+2} \hbar \) a\(\dfrac {1}{-2} \hbar \) o de\(\dfrac {1}{-2} \hbar \) a\(\dfrac {1}{+2} \hbar \). Entonces, la otra regla de selección de espín para un solo electrón es
\[ \Delta m_s = \pm 1 \label {8-60}\]