2.3: Funciones Complejas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 70074

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Los conceptos de conjugado complejo y módulo que discutimos anteriormente también se pueden aplicar a funciones complejas. Por ejemplo, en la mecánica cuántica, los orbitales atómicos a menudo se expresan en términos de exponenciales complejos. Por ejemplo, uno de los\(p\) orbitales del átomo de hidrógeno puede expresarse en coordenadas esféricas (\(r,\theta,\phi\)) como

\[\psi(r,\theta,\phi)=\dfrac{1}{8 \sqrt{a_0^5 \pi}} r e^{-r/2a_0} \sin\theta e^{i \phi} \nonumber\]

Trabajaremos con orbitales y discutiremos su significado físico a lo largo del semestre. Por ahora, escribamos una expresión para el cuadrado del módulo del orbital (Ecuación\(2.2.2\)):

\[|\psi|^2=\psi \psi^* \nonumber\]

El conjugado complejo de una función compleja se crea cambiando el signo de la parte imaginaria de la función (en términos laicos, cada vez que veas un +\(i\) cámbialo por a -\(i\), y cada vez que veas a -\(i\) cámbialo a +\(i\)). Por lo tanto:

\[ \begin{align*} |\psi|^2 &=\left(\dfrac{1}{8 \sqrt{a_0^5 \pi}} r e^{-r/2a_0} \sin\theta e^{i \phi}\right)\left(\dfrac{1}{8 \sqrt{a_0^5 \pi}} r e^{-r/2a_0} \sin\theta e^{-i \phi}\right) \\[4pt] &=\dfrac{1}{64 a_0^5 \pi} r^2 e^{-r/a_0} \sin^2\theta \end{align*} \nonumber\]

Observe que siempre\(\psi \psi^*\) es real porque el término

\[e^{+i \phi} e^{-i \phi}=1.\]

Este tiene que ser el caso porque\(|\psi|^2\) representa el cuadrado del módulo, y como discutiremos muchas veces durante el semestre, se puede interpretar en términos de la probabilidad de encontrar el electrón en diferentes regiones del espacio. Porque las probabilidades son cantidades físicas que son positivas, ¡es bueno que\(\psi \psi^*\) se garantiza que sea real!

¿Confundido sobre el complejo conjugado? Vea cómo escribir el conjugado complejo en las diferentes notaciones comentadas en este capítulo en este breve video: http://tinyurl.com/ lcry7ma