2.4: Problemas

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Nota: Siempre exprese ángulos en radianes (por ejemplo\(\pi/2\), no\(90^{\circ}\)). Al expresar números complejos en forma cartesiana siempre termina tu trabajo hasta que puedas expresarlos como\(a+bi\). Por ejemplo, si obtiene\(\frac{2}{1+i}\), multiplica y divide el denominador por su complejo conjugado para obtener\(1-i\).

Recuerda: ¡No se permiten calculadoras!

Problema\(\PageIndex{1}\)

Dado\(z_1=1+i\),\(z_2=1-i\) y\(z_3=3e^{i \pi/2}\), obtener:

\(z_1 z_2\)
\(z_1^2\)
\(2z_1-3z_2\)
\(|z_1|\)
\(2z_1-3z_2^*\)
\(\frac{z_1}{z_2}\)
Expresar\(z_2\) como un exponencial complejo
\(|z_3|\)
\(z_1+z_3\), y expresar el resultado en forma cartesiana
Mostrar los tres números en la misma gráfica (parte real en el\(x\) eje -y parte imaginaria en el\(y\) eje -eje)

Problema\(\PageIndex{2}\)

La siguiente familia de funciones se encuentra en la mecánica cuántica:

\[\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i m \phi}, m= 0, \pm 1,\pm 2, \pm 3 \dots, 0 \le \phi \le 2\pi\]

Observe la diferencia entre\(\Phi\) (el nombre de la función) y\(\phi\) (la variable independiente). La definición anterior define una familia de funciones (una función por cada valor de\(m\)). Por ejemplo, para\(m=2\):

\[\Phi_2(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{2i \phi},\]

y para\(m=-2\):

\[\Phi_{-2}(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-2i \phi},\]

Obtener\(|\Phi_m(\phi)|^2\)
Calcular\(\int_0 ^{2\pi}|\Phi_m(\phi)|^2 \mathrm{d}\phi\)
Calcular\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi)\Phi_n^*(\phi) \mathrm{d}\phi\) para\(m \neq n\)
Calcular\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi) \mathrm{d}\phi\) para\(m = 0\)
Calcular\(\int_0 ^{2\pi}\Phi_m(\phi) \mathrm{d}\phi\) para\(m \neq 0\)

Problema\(\PageIndex{3}\)

Dada la función

\[f(r,\theta,\phi)=4 r e^{-2r/3} \sin{\theta}e^{-2i\phi/5}\]

Escribe una expresión para\(|f(r,\theta,\phi)|^2\)