3.4: Otras aplicaciones de las series Mclaurin y Taylor

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Hasta ahora hemos discutido cómo podemos usar series de potencia para aproximar funciones más complejas alrededor de un valor particular. Esto es muy común en química física, y lo vas a aplicar frecuentemente en futuros cursos. Existen otras aplicaciones útiles de la serie Taylor en las ciencias físicas. A veces, podemos usar relaciones para derivar ecuaciones o probar relaciones. Ejemplo\(\PageIndex{1}\) ilustra este último punto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Calcular la siguiente suma (\(\lambda\)es una constante positiva)

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \nonumber\]

Solución

Vamos a 'deletrear' la suma:

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \left[1+\frac{\lambda^1}{1!}+\frac{\lambda^2}{2!}+\frac{\lambda^3}{3!}...\right] \nonumber \]

La suma entre paréntesis es exactamente\(e^\lambda\). Esto es exacto, y no una aproximación, porque todos tenemos términos infinitos.

Por lo tanto,

\[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1 \nonumber \]

Esto requeriría que reconozcas el término entre paréntesis como la serie Maclaurin de la función exponencial. Una versión más sencilla del problema sería pedirle que demuestre que la suma es igual a 1.

Hay más formas en las que podemos usar la serie Taylor en las ciencias físicas. Veremos otro tipo de aplicación cuando estudiemos ecuaciones diferenciales. De hecho, las series de poder son sumamente importantes para encontrar las soluciones de un gran número de ecuaciones que surgen en la mecánica cuántica. La descripción de los orbitales atómicos, por ejemplo, requiere que resolvamos ecuaciones diferenciales que implican expresar funciones como series de potencia.