4.2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1er
- Page ID
- 69894
Discutiremos solo dos tipos de ODE de primer orden, que son los más comunes en las ciencias químicas: las ODE lineales de primer orden y las ODEs separables de primer orden. Estas dos categorías no son mutuamente excluyentes, lo que significa que algunas ecuaciones pueden ser tanto lineales como separables, o ni lineales ni separables.
ODEs separables de primer orden
Una ODE se llama separable si se puede escribir como
\[\label{sep}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g(x)}{h(y)}\]
Una ecuación diferencial separable es la más fácil de resolver porque se reduce fácilmente a un problema de integración:
\[\label{sep2} \int h(y)dy=\int g(x)dx\]
Por ejemplo: se\(\dfrac{dy}{dx}=4y^2x\) puede escribir como\(y^{-2}dy=4xdx\) o\(\dfrac{1}{4}y^{-2}dy=xdx\). Esta ecuación es separable porque los términos multiplicar\(dy\) no contienen ningún término que implique\(x\), y los términos multiplicar\(dx\) no contienen ningún término que implique\(y\). Esto le permite integrar y resolver para\(y(x)\):
\[ \begin{aligned} \int y^{-2}dy&=\int 4xdx \\ -\dfrac{1}{y}+c_1 &=2x^2+c_2 \\ y&=-\dfrac{1}{2x^2+c_3} \end{aligned} \nonumber\]
donde\(c_3 = c_2-c_1\).
Veamos cómo separar otras ecuaciones. Si quisieras terminar estos problemas integrarías ambos lados y resolverías para la variable dependiente, como se muestra en los ejemplos resueltos a continuación. Por ahora, concentrémonos en cómo separar los términos que involucran a la variable independiente de los términos que involucran a la variable dependiente:
Ejemplo 1:
\[ y' = e^{−y} (3 − x) \nonumber\]
\[ \frac{dy}{dx} = e^{−y} (3 − x) \nonumber\]
ODE Separado:
\[e^y dy = (3 − x)dx \nonumber\]
Ejemplo 2:
\[ \theta' = \frac{t^2}{ \theta} \nonumber\]
\[ \frac{d \theta}{dt} = \frac{t^2}{ \theta} \nonumber\]
ODE Separado:
\[ \theta d \theta = t^2dt \nonumber\]
Ejemplo 3:
\[ \frac{dA(t)}{dt} = \frac{2−t}{1−A(t)} \nonumber\]
ODE Separado:
\[(1 − A(t))dA = (2 − t)dt \nonumber\]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resuelve la siguiente ecuación diferencial:\(\frac{dy}{dx} = yx^2\)
Solución
Primero 'separamos' los términos que involucran\(y\) de los términos que involucran\(x\):
\[\frac{1}{y} dy = x^2 dx \nonumber\]
y luego integrar ambos lados (es crucial no olvidar las constantes de integración):
\[ \int \frac{1}{y} dy = \int x^2 dx \rightarrow \ln y + c_1 = \frac{1}{3} x^3 + c_2 \nonumber\]
Recuerda que nuestro objetivo es encontrar\(y(x)\), así que nuestro trabajo ahora es resolver para\(y\):
\[ \begin{align*} \ln y + c_1 &= \frac{1}{3} x^3 + c_2 \\[4pt] \ln y &= \frac{1}{3} x^3 + c_2 − c_1 \\[4pt] &= \dfrac{1}{3} x^3 + c_3 \end{align*}\]
\[y = \exp \left( \frac{1}{3} x^3 + c_3 \right) = \exp \left( \dfrac{1}{3} x^3 \right) \exp(c_3) = \textcolor{red}{Ke^{x^3/3}} \nonumber\]
Observe que\(c_2 − c_1\) es una constante, así que la renombramos\(c_3\). Además, también\(exp(c_3)\) es una constante, por lo que la renombramos\(K\). Los nombres de las constantes no son importantes.
Sólo para estar en el lado seguro, verifiquemos que efectivamente\(Ke^{x^3/3}\) es la solución de esta ecuación diferencial. Lo haremos por sustitución. En el lado izquierdo de la ecuación tenemos\(\frac{dy}{dx}\), y en el lado derecho tenemos\(yx^2\). Reemplazaremos\(y\) por\(Ke^{x^3/3}\) en ambos lados, y verificaremos que los dos lados sean idénticos (la igualdad se mantiene).
\[\frac{dy}{dx} = Ke^{x^3/3}x^2 \nonumber\]
\[yx^2 = Ke^{x^3/3}x^2 \nonumber\]
Acabamos de verificar que la función\(Ke^{x^3/3}\) satisface\(\frac{dy}{dx} = yx^2\), ¡así que sabemos que nuestra solución es correcta!
Ejemplo\(\PageIndex{1}\) ilustra por qué es necesario estar muy cómodo con las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales. Estas funciones aparecen en todas partes en las ciencias físicas, así que si encontraste esto desafiante ¡necesitas revisar tu álgebra!
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Resuelve la siguiente ecuación diferencial:\(\dfrac{dx}{dt} = x^2 t\)
Esto podría parecer similar al ejemplo\(\PageIndex{1}\), pero fíjese que en este caso,\(x\) es la variable dependiente.
Solución
Primero 'separamos' los términos que involucran\(x\) de los términos que involucran\(t\):
\[\dfrac{1}{x^2}dx=t dt \nonumber\]
y luego integrar ambos lados (es crucial no olvidar las constantes de integración):
\[\int\dfrac{1}{x^2}dx=\int tdt\rightarrow -x^{-1}+c_1=t^2/2+c_2 \nonumber\]
Recuerda que nuestro objetivo es encontrar\(x(t)\), así que nuestro trabajo ahora es resolver para\(x\):
\[-x^{-1}+c_1=t^2/2+c_2 \nonumber\]
\[x^{-1}=-t^2/2+(c_1-c_2) \nonumber\]
\[x(t) =-\dfrac{1}{\dfrac{t^2}{2}+(c_2-c_1)}=\displaystyle{\color{Maroon}-\dfrac{1}{t^2/2+c}}. \nonumber\]
donde\(c=(c_2-c_1)\).
Solo para estar en el lado seguro, verifiquemos que nuestra solución satisface la ecuación diferencial. Lo haremos por sustitución. En el lado izquierdo de la ecuación tenemos\(\dfrac{dx}{dt}\), y en el lado derecho tenemos\(t x^2\). Reemplazaremos\(x\) por\(-\dfrac{1}{t^2/2+c}\) en ambos lados, y verificaremos que los dos lados sean idénticos (la igualdad se mantiene).
\[\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{t}{(t^2/2+c)^2} \nonumber\]
\[x^2t=\dfrac{t}{(t^2/2+c)^2} \nonumber\]
Acabamos de verificar que la función\(-\dfrac{1}{t^2/2+c}\) satisface\(\dfrac{dx}{dt} = tx^2\), ¡así que sabemos que nuestra solución es correcta!
Este ejemplo también está disponible como video: http://tinyurl.com/kxdfqxq
Mira un ejemplo adicional resuelto. http://tinyurl.com/kem7e6h
Enlaces externos:
ODEs lineales de 1er orden
Se puede escribir una ODE lineal general de primer orden
\[\label{linear}\dfrac{dy}{dx}+p(x) y=q(x)\]
Tenga en cuenta que la linealidad se refiere a los\(dy/dx\) términos\(y\) y,\(p(x)\) y\(q(x)\) no es necesario que sea lineal en\(x\). Es posible que deba reorganizar los términos alrededor para escribir su ecuación en la forma que se muestra en Ecuación\ ref {lineal}. Por ejemplo,\(dy=(8 e^x-3y)dx\) es lineal, porque se puede reorganizar como
\[\label{exlin1}\dfrac{dy}{dx}+3y=8e^x\]
Comparando las Ecuaciones\ ref {lineal} y\ ref {exlin1}, vemos que en este caso,\(p(x) = 3\) y\(q(x)=8e^x\). En este ejemplo\(p(x)\) es una constante, pero este no tiene por qué ser el caso. El término\(p(x)\) puede ser cualquier función de\(x\).
Las ODE lineales de primer orden se pueden resolver multiplicando por el factor integrador\(e^{ \int p(x)dx }\). Esto suena muy extraño a primera vista, pero veremos cómo funciona con el ejemplo de Ecuación\ ref {exlin1}.
Nuestro primer paso es escribir la ecuación para que se vea como Ecuación\ ref {lineal}. Después calculamos el factor integrador, en este caso\(e^{ \int 3dx }=e^{3x}\). A continuación, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrador:
\[\dfrac{dy}{dx} e^{3x}+3ye^{3x}=8e^xe^{3x}=8e^{4x} \nonumber\]
En el siguiente paso, reconocemos que el lado izquierdo es la derivada de la variable dependiente multiplicada por el factor integrador:
\[\dfrac{dy}{dx} e^{3x}+3ye^{3x}=\dfrac{d}{dx} (y e^{3x}) \nonumber\]
Este último paso es la regla de multiplicación a la inversa. Si empiezas con\(\dfrac{d}{dx} (y e^{3x})\), puedes aplicar la regla de multiplicación para obtener\(\dfrac{dy}{dx} e^{3x}+3ye^{3x}\). El punto de calcular el factor integrador es que garantiza que el lado izquierdo de la ecuación siempre será la derivada de la variable dependiente multiplicada por el factor integrador. Esto nos permitirá movernos\(dx\) hacia el lado derecho, e integrar:
\[\dfrac{d}{dx} (y e^{3x})=8e^{4x} \nonumber\]
\[d(y e^{3x})=8e^{4x}dx \nonumber\]
\[\int d(y e^{3x})=\int 8e^{4x}dx \nonumber\]
El lado izquierdo de la ecuación anterior es\(\int d(y e^{3x})=y e^{3x}\), de la misma manera que\(\int dy=y\). El lado derecho es\(\int 8e^{4x}dx=2e^{4x}+c\). Tenga en cuenta que incluimos la constante de integración solo por un lado. Esto es porque ya vimos que si incluíamos constantes de integración en ambos lados podríamos agruparlas en una sola constante.
Hasta el momento tenemos
\[y e^{3x}=2e^{4x}+c \nonumber\]
Ahora necesitamos resolver para la variable dependiente, en este caso\(y(x)\). Dividiendo ambos términos por\(e^{3x}\):
\[y =2e^{x}+c e^{-3x} \nonumber\]
que es la solución general de la Ecuación\ ref {exlin1}. Antes de continuar, verifiquemos que esta función satisface la Ecuación\ ref {exlin1} sustituyéndola\(y\) por\(y =2e^{x}+c e^{-3x}\):
\[\dfrac{dy}{dx}=2e^x-3ce^{-3x} \nonumber\]
\[3y = 6e^{x}+3c e^{-3x} \nonumber\]
\[\dfrac{dy}{dx}+3y =2e^x-3ce^{-3x} +6e^{x}+3c e^{-3x}=8e^{x} \nonumber\]
que es igual al lado derecho de la Ecuación\ ref {exlin1}. Esto verifica que efectivamente\(y =2e^{x}+c e^{-3x}\) es la solución general de la Ecuación\ ref {exlin1}. Si se nos diera una condición inicial podríamos calcular el valor de\(c\) y obtener la solución particular.
Revisemos y enumeremos los pasos que usamos para encontrar la solución de una ODE lineal de 1er orden:
- Reorganizar los términos para que la ecuación tenga la forma\(\dfrac{dy}{dx}+p(x) y=q(x)\)
- Multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor integrador\(e^{\int p(x)dx}\)
- Reconocer que el lado izquierdo se puede escribir como\(\dfrac{d}{dx} \left( y e^{\int p(x)dx}\right)\)
- Muévase\(dx\) hacia el lado derecho e integre. ¡Recuerda las constantes de integración!
- Resolver para la variable dependiente
- Si se da, utilice la condición inicial para calcular el valor de la constante arbitraria.
- Verifique que su solución sea correcta mediante la sustitución en la ecuación diferencial.
Ver otro ejemplo resuelto para ver este método en acción: http://tinyurl.com/lzluktp
Enlaces externos: http://www.youtube.com/watch?v=HAb9JbBD2ig