7.4: Problemas

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Nota: Utilizarás algunos de estos resultados en el Capítulo 12. Mantenga una copia de su trabajo a mano para que pueda volver a usarlo cuando sea necesario.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Considere la siguiente función periódica:

Screen Shot 2019-10-25 a las 12.05.52 PM.png

¿La función es impar, par o ninguna?
Calcular todos los coeficientes de la serie de Fourier de la función a mano (es decir, no en Mathematica). Expresar la función como una serie de Fourier.
En el laboratorio: Utilice la función Manipulate en Mathematica para trazar la serie de Fourier. Observe cómo la suma finita se acerca a la onda triangular real a medida que aumenta el límite superior de la suma.

Problema\(\PageIndex{2}\)

Considere la función periódica formada por la extensión periódica de:

\[f(x)=\left\{\begin{matrix}-1/2 & -1\leq x\leq 0 \\ 1/2 &0<x \leq 1 \end{matrix}\right. \nonumber\]

¿La función es impar, par o ninguna?
Calcular todos los coeficientes de la serie de Fourier de la función a mano (es decir, no en Mathematica). Expresar la función como una serie de Fourier.
En el laboratorio: Utilice la función Manipulate en Mathematica para trazar la serie de Fourier.

Observe cómo la suma finita se acerca a la onda triangular real a medida que aumenta el límite superior de la suma.

Problema\(\PageIndex{3}\)

Las siguientes funciones se encuentran en la mecánica cuántica:

\(\Phi _m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{im\phi},\;m=0, \pm 1, \pm2,\pm3...\;and\;0\leq\phi\leq 2\pi\)

Demostrar que todas estas funciones están normalizadas, y que dos funciones cualesquiera del conjunto son mutuamente ortogonales.

Pista: Considera los casos\(m=0\) y\(m\neq0\) por separado, y recuerda que\(e^{im\phi}=1\) cuando\(m=0\). ¡No olvides tomar en cuenta el conjugado complejo en la condición de normalización!

Pista 2: Verifique el Capítulo 2. ¡Puede que ya hayas resuelto este problema antes!