7.3: Expansiones ortogonales

Nota

Como se indica en la Sección 7.2, los coeficientes de\ ref {eq:fourier} se definen así:

\[\label{ao} a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx\]

\[\label{an} a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

\[\label{bn} b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

La idea de expresar funciones como una combinación lineal de las funciones de un conjunto de bases dado es más general de lo que acabamos de ver. Los senos y cosenos no son las únicas funciones que podemos usar, aunque son una buena opción particular para funciones periódicas. Existe un teorema fundamental en la teoría de funciones que establece que podemos construir cualquier función usando un conjunto completo de funciones ortonormales.

El término ortonormal significa que cada función del conjunto está normalizada, y que todas las funciones del conjunto son mutuamente ortogonales. Para una función en una dimensión, la condición de normalización es:

\[\label{eq:fourier_normalization} \int_{-\infty }^{\infty }{\left | f (x) \right |}^2\; dx=1\]

Dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) se dice que son ortogonales si:

\[\label{eq:fourier_orthogonal} \int_{-\infty }^{\infty }{f (x) g^*(x) }\; dx=0\]

La idea de que se puede construir una función con una combinación lineal de funciones ortonormales es análoga a la idea de construir un vector en tres dimensiones combinando los vectores\(\vec{v_1}=\{(1,0,0)\}, \vec{v_2}=\{(0,1,0)\},\vec{v_3}=\{(0,0,1)\},\) que como todos sabemos son mutuamente ortogonales, y tienen longitud unitaria.

El conjunto de bases que utilizamos para construir una serie de Fourier es

\[\{1, \sin{(\frac{\pi}{L} x)}, \cos{(\frac{\pi}{L} x), \sin{(2\frac{\pi}{L} x)}, \cos{(2\frac{\pi}{L} x)}, \sin{(3\frac{\pi}{L} x)}}, \cos{(3\frac{\pi}{L} x)}...\} \nonumber\]

Demostraremos que estas funciones son mutuamente ortogonales en el intervalo\([0,2L]\) (un periodo).

Por ejemplo, vamos a probar eso\(\sin{(n\frac{\pi}{L} x)}\) y\(1\) son ortogonales:

\[\int sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{n\pi}cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{n\pi}cos\left (2n\pi \right )+\frac{L}{n\pi}cos(0)=\frac{L}{n\pi}\left ( 1-cos(2n\pi) \right )=0 \nonumber\]

También podemos probar que cualquiera\(\sin{(nx)}\) es ortogonal a cualquier\(\cos{(nx)}\):

\[\int sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{4n\pi}\cos\left (\frac{2n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} \sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{4n\pi}\cos\left (4n\pi\right )+\frac{L}{4n\pi}\cos (0)=0 \nonumber\]

Siguiendo el mismo procedimiento, también podemos probar que

\[\int \sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \sin\left (\frac{m\pi x}{L} \right )dx=0\;n\neq m \nonumber\]

\[\int \cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \cos\left (\frac{m\pi x}{L} \right )dx=0\;n\neq m \nonumber\]

Las funciones utilizadas en una serie de Fourier son mutuamente ortogonales. ¿Están normalizados?

\[\int_{0}^{2L} \sin^2\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=L \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} \cos^2\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=L \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} 1^2\;dx=2L \nonumber\]

¡No lo son! Las funciones\(1/2L, \frac{1}{L}\sin{(\frac{\pi}{L} x)}\) y\(\frac{1}{L}\cos{(\frac{\pi}{L} x)}\) están normalizadas, por lo que podemos argumentar que nuestro conjunto ortonormal debe ser:

\[\{\frac{1}{2L},\frac{1}{L} \sin{(\frac{\pi}{L} x)},\frac{1}{L} \cos{(\frac{\pi}{L} x),\frac{1}{L} \sin{(2\frac{\pi}{L} x)}, \frac{1}{L}\cos{(2\frac{\pi}{L} x)}}, ...\} \nonumber\]

y la serie debe escribirse como:

\[\label{eq:fourier2} f(x)=c_0\frac{1}{2L}+\frac{1}{L}\sum_{n=1}^{\infty}c_n \cos\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )+\frac{1}{L}\sum_{n=1}^{\infty}d_n \sin\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\]

donde usamos las letras\(c\) y\(d\) para distinguir estos coeficientes de los definidos en Ecuaciones\ ref {ao},\ ref {an} y\ ref {bn}.

Sin embargo, si comparamos esta expresión con la ecuación\ ref {eq:fourier}:

\[\label{eq:fourier} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n cos\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )+\sum_{n=1}^{\infty}b_n sin\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\]

vemos que es solo cuestión de cómo definimos los coeficientes. Los coeficientes en la Ecuación\ ref {eq:fourier} son iguales a los coeficientes de la Ecuación\ ref {eq:fourier2} divididos por\(L\). En otras palabras, los coeficientes de la Ecuación\ ref {eq:fourier} ya contienen la constante\(L\) (mira Ecuaciones\ ref {ao},\ ref {an} y\ ref {bn}), así podemos escribir los senos y cosenos sin escribir el factor\(1/L\) cada vez.

En conclusión, el conjunto

\[\{1, \sin{\left(\frac{\pi}{L} x\right)}, \cos{\left(\frac{\pi}{L} x\right), \sin{\left(2\frac{\pi}{L} x\right)}, \cos{\left(2\frac{\pi}{L} x\right)}, \sin{\left(3\frac{\pi}{L} x\right)}}, \cos{\left(3\frac{\pi}{L} x\right)}...\} \nonumber\]

no es estrictamente ortonormal la forma en que está escrito, sino que es una vez que incluimos la constante\(L\) en los coeficientes. Por lo tanto, los cosenos y senos forman un conjunto completo que nos permite expresar cualquier otra función utilizando una combinación lineal de sus miembros.

Hay otros conjuntos ortonormales que se utilizan en la mecánica cuántica para expresar una variedad de funciones. Solo recuerda que podemos construir cualquier función usando un conjunto completo de funciones ortonormales.

Podemos construir cualquier función usando un conjunto completo de funciones ortonormales.