10.3: Un Refresco en Números Cuánticos Electrónicos

Cada electrón en un átomo es descrito por cuatro números cuánticos diferentes.

• Número cuántico principal:\(n=1,2,3...\infty\). Determina el tamaño general y la energía de una órbita.
• Número cuántico de momento angular:\(l=0,1, 2...(n-1)\). Se relaciona con la forma de la órbita. En química, solemos usar las letras\(s,p,d,f...\) para denotar un orbital con\(l=0, 1,2, 3...\). Por ejemplo, para el orbital 1s,\(n=1\) y\(l=0\).
• Número cuántico magnético:\(m_l=-l, -l+1,...,0,...l-1, l\). Se especifica la orientación de la órbita. Para un\(p\) orbital, por ejemplo,\(l=1\) y por lo tanto\(m_l\) puede tomar los valores\(-1, 0, 1\). En general, hay\(2l+1\) valores de\(m_l\) para un valor dado de\(l\). Es por ello que\(p\) los orbitales vienen en grupos de 3,\(d\) los orbitales vienen en grupos de 5, etc.
• Número cuántico de giro:\(m_s=-1/2\) o\(1/2\). El principio de exclusión de Pauli establece que no hay dos electrones en un mismo átomo que puedan tener valores idénticos para los cuatro números cuánticos. Esto significa que no más de dos electrones pueden ocupar el mismo orbital, y que dos electrones en el mismo orbital deben tener espines opuestos.

Los tres primeros números cuánticos especifican el orbital particular que ocupa el electrón. Por ejemplo, el orbital\(2p_{-1}\) es el orbital con\(n=2\),\(l=1\) y\(m_l=-1\). Dos electrones de espín opuesto pueden ocupar este orbital.

Hasta ahora nos hemos limitado a la orbital 1s, pero ahora que nos sentimos más cómodos con la nomenclatura de los orbitales, podemos comenzar a hacer algunas matemáticas con orbitales que tienen expresiones más complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Después de resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, obtenemos la siguiente expresión para el\(2p_{+1}\) orbital:

\[\psi_{2p_{+1}}=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

como es habitual, obtenemos la constante\(A\) a partir de la condición de normalización. Calcular\(A\).

Solución

En tres dimensiones, la condición de normalización es:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=1 \nonumber\]

Debido a que el orbital se expresa en coordenadas esféricas:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=1 \nonumber\]

Para este orbital particular:

\[\psi_{2p_{+1}}=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p_{+1}}^*=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{-i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p_{+1}}^* \psi_{2p_{+1}}=A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \left(e^{i\phi}e^{-i\phi}\right)=A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \nonumber\]

por lo tanto,

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} {\color{Red}A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta} \,{\color{Blue}r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi}=1 \nonumber\]

donde la parte del integrando resaltada en azul proviene del diferencial de volumen (\(dV\)) y la parte en rojo viene de\(|\psi|^2\). Necesitamos integrar toda la expresión, así:

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=A^2\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\sin^3\theta \,dr d\theta d\phi=A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr \nonumber\]

---

\[\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi=2\pi \nonumber\]

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\[\int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=? \nonumber\]

De la hoja de fórmulas:\(\int sin^3(ax)\, dx=\frac{1}{12a}\cos(3ax)-\frac{3}{4a}\cos(ax)+C\) entonces,

\[\int_{0}^{\pi} sin^3\theta\, d\theta=\frac{1}{12}\cos(3\pi)-\frac{3}{4}\cos(\pi)-\frac{1}{12}\cos(0)+\frac{3}{4}\cos(0)=\frac{1}{12}(-1)-\frac{3}{4}(-1)-\frac{1}{12}(1)+\frac{3}{4}(1)=\frac{4}{3} \nonumber\]

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\[\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=? \nonumber\]

De la hoja de fórmulas:

\(\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n+1}},\; a>0, n\)es un número entero positivo.

Aquí,\(a=1/a_o\) y\(n=4\), entonces:

\[\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=\frac{4!}{(1/a_0)^5}=24a_0^5 \nonumber\]

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Juntando las tres piezas:

\[A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=A^2\times 2\pi\times \frac{4}{3}\times 24a_0^5=64a_0^5\pi A^2=1 \nonumber\]

Resolviendo para\(A\):

\[A=\frac{1}{8\left(a_0^5 \pi\right)^{1/2}} \nonumber\]

El orbital normalizado es, por lo tanto,

\[\displaystyle{\color{Maroon}\psi_{2p_{+1}}=\frac{1}{8\left(a_0^5 \pi\right)^{1/2}}re^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi}} \nonumber\]