13.3: El Determinante como Volumen

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Antes de discutir las propiedades de los determinantes, será útil señalar que un determinante representa el volumen de una caja.

En dos dimensiones, el valor absoluto de un\(2\times 2\) determinante representa el área del paralelogramo cuyos lados son las dos columnas (o filas) del determinante. Supongamos que tiene dos vectores:\(\vec{v_1}=(b,d)\) y\(\vec{v_2}=(a,c)\) (ver Figura\(\PageIndex{2}\)). El área del paralelogramo construido con estos dos vectores como lados es el valor absoluto del determinante cuyas columnas son\(\vec{v_1}\) y\(\vec{v_2}\):

\[A= \begin{vmatrix} b&a\\ d&c \end{vmatrix} \nonumber\]

Una prueba geométrica de esta afirmación se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). El signo del determinante está relacionado con la orientación del paralelogramo. Si extiendes tu mano derecha, y usas el pulgar y el índice para representar los dos vectores, el determinante será positivo si el vector a lo largo de tu pulgar está en la primera columna y el vector y tu dedo índice están en la segunda columna, y serán negativos si es al revés (Figura \(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Un determinante\(\times\) 2 2 como el área de un paralelogramo. El área del paralelogramo se calcula como el área del rectángulo de lados\((a+b)\) y\((c+d)\) menos las áreas de los triángulos y rectángulos mostrados en la figura (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Figura\(\PageIndex{2}\): El orden de los vectores en el determinante determina el signo. (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Para un\(3\times 3\) determinante, su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo (“la caja”) cuyos bordes son los vectores que son las columnas del determinante (Figura\(\PageIndex{3}\))

Figura\(\PageIndex{3}\): Un determinante\(\times\) 3 3 como el volumen de un paralelepípedo. (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

Esta noción nos ayudará a comprender y recordar algunas propiedades útiles de los determinantes. Por ejemplo, podemos concluir fácilmente que un determinante que contiene entradas distintas de cero solo en la diagonal principal (arriba izquierda a abajo derecha) es el producto de las entradas diagonales:

\[\begin{vmatrix} a &0&0 \\ 0&b &0 \\ 0& 0 &c \end{vmatrix}=abc \nonumber\]

Esto es cierto porque las columnas representan vectores que están alineados con los\(z\) ejes\(x\),\(y\) y respectivamente, por lo que el volumen de la caja resultante es el producto de las dimensiones a lo largo\(x\),\(y\) y\(z\) (Figura\(\PageIndex{4}\)):

Figura\(\PageIndex{4}\): El determinante de una matriz diagonal\(\times\) 3 3 (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)