13.5: Problemas

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Problema\(\PageIndex{1}\)

Terminar el problema de Ejemplo\(13.1.1\) y obtener\(y\) y\(z\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Usa determinantes para resolver las ecuaciones:

\[\begin{array}{c} x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ x+4y+9z=36 \end{array} \nonumber\]

\[ \begin{array}{c} x+iy-z=0\\ ix+y+z=0\\ x+2y-iz=1 \end{array} \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que un\(3\times 3\) determinante que contiene ceros por encima de la diagonal principal es el producto de los elementos diagonales.

\[D=\begin{vmatrix} a &0&0 \\ b&c &0 \\ d& e &f \end{vmatrix}=acf \nonumber\]

Problema\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que

\[D=\begin{vmatrix} 1 &2&3 \\ 2&3 &3 \\ 3& 4 &3 \end{vmatrix}=0 \nonumber\]

utilizando las propiedades de los determinantes (es decir, ¡sin calcular el determinante!). Afirme claramente las propiedades que usa en cada paso.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En conferencias anteriores, se discutió cómo realizar integrales dobles y triples en diferentes sistemas de coordenadas. Por ejemplo, aprendimos que los elementos del área y los elementos de volumen son:

2D:

Cartesiano:\(dA= dx.dy\)
Polar:\(dA=r. dr. d\theta\)

3D:

Cartesiano:\(dV= dx.dy.dz\)
Esférico:\(dV=r^2.\sin\theta dr. d\theta d\phi\)

En general, para cualquier sistema de coordenadas, podemos expresar el elemento área (o volumen) en un nuevo sistema de coordenadas utilizando el jacobiano (\(J\)). Por ejemplo, en coordenadas polares en dos dimensiones:

\[dA=dx.dy=J. dr.d\theta \nonumber\]

donde el jacobiano se define como:

\[J=\left | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{matrix} \right | \nonumber\]

a) Calcular el jacobiano en coordenadas polares bidimensionales y mostrarlo\(dA=r. dr. d\theta\).

En coordenadas esféricas,

\[dV=dx.dy.dz=J. dr.d\theta. d\phi \nonumber\]

donde

\[J=\left | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} &\frac{\partial z}{\partial \theta}&\frac{\partial z}{\partial \phi}\\ \end{matrix} \right | \nonumber\]

b) Calcular el jacobiano en coordenadas esféricas tridimensionales y mostrar que

\[dV=r^2.\sin\theta dr. d\theta d\phi \nonumber\]