1.17: Determinar si una Integral puede ser distinta de cero
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A medida que continuemos con este curso, descubriremos que hay muchas ocasiones en las que nos gustaría saber si una integral en particular es necesariamente cero, o si existe la posibilidad de que sea distinta de cero. A menudo podemos usar la teoría de grupos para diferenciar estos dos casos.
Ya habrás usado propiedades de simetría de funciones para determinar si una integral unidimensional es cero o no. Por ejemplo, sin (x) es una función 'impar' (antisimétrica con respecto a la reflexión a través del origen), y de esto se deduce que
\[\int^{\infty}_{-\infty} \cos(x) dx = 0\]
En general, una integral entre estos límites para cualquier otra función impar también será cero.
En el caso general podemos tener una integral de más de una dimensión. La clave para determinar si una integral general es necesariamente cero radica en el hecho de que debido a que una integral es solo un número, debe ser invariante a cualquier operación de simetría. Por ejemplo, la unión en un diatómico (ver siguiente sección) depende de la presencia de un solapamiento distinto de cero entre orbitales atómicos en átomos adyacentes, que puede cuantificarse por una integral de superposición. No esperarías que la unión en una molécula cambiara si girabas la molécula a través de algún ángulo\(\theta\) , por lo que la integral debe ser invariante a la rotación, y de hecho a cualquier otra operación de simetría.
En términos teóricos grupales, para que una integral sea distinta de cero, el integrando debe transformarse como la representación irreducible totalmente simétrica en el grupo puntual apropiado. En la práctica, el integrando puede no transformarse como una sola representación irreducible, sino que debe incluir la representación irreducible totalmente simétrica. Estas ideas deberían quedar más claras en la siguiente sección.
Cabe señalar que incluso cuando las representaciones irreducibles abarcada por el integrando sí incluyen la representación irreducible totalmente simétrica, todavía es posible que la integral sea cero. Todo lo que la teoría de grupos nos permite hacer es identificar integrales que son necesariamente cero en base a la simetría (o falta de ella) del integrando.