1: Capítulos
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- 1.1: Introducción a la simetría
- Ya estarás familiarizado con el concepto de simetría en un sentido cotidiano. Si decimos que algo es 'simétrico', usualmente queremos decir que tiene simetría especular, o simetría “izquierda-derecha”, y se vería igual si se viera en un espejo. La simetría también es muy importante en química. Algunas moléculas son claramente 'más simétricas' que otras, pero ¿qué consecuencias tiene esto, si las hay?
- 1.2: Operaciones de simetría y elementos de simetría
- Una operación de simetría es una acción que deja un objeto con el mismo aspecto después de que se haya realizado. Cada operación de simetría tiene un elemento de simetría correspondiente, que es el eje, plano, línea o punto con respecto al cual se realiza la operación de simetría. El elemento de simetría consiste en todos los puntos que permanecen en el mismo lugar cuando se realiza la operación de simetría. Por ejemplo, en una rotación, la línea de puntos que permanecen en el mismo lugar constituyen un eje de simetría.
- 1.3: Clasificación de simetría de moléculas- grupos de puntos
- Solo es posible que ciertas combinaciones de elementos de simetría estén presentes en una molécula (o cualquier otro objeto). Como resultado, podemos agrupar moléculas que poseen los mismos elementos de simetría y clasificar las moléculas según su simetría. Estos grupos de elementos de simetría se denominan grupos de puntos (debido a que hay al menos un punto en el espacio que permanece sin cambios independientemente de qué operación de simetría del grupo se aplique).
- 1.4: Simetría y Propiedades Físicas
- Realizar una operación de simetría sobre una molécula no debe cambiar ninguna de sus propiedades físicas. Resulta que esto tiene algunas consecuencias interesantes, lo que nos permite predecir si una molécula puede ser quiral o polar sobre la base de su grupo puntual.
- 1.5: Combinar operaciones de simetría - 'Multiplicación de Gru
- Ahora investigaremos qué sucede cuando aplicamos dos operaciones de simetría en secuencia. Como veremos pronto, es importante el orden en que se aplican las operaciones.
- 1.6: Construyendo grupos superiores a partir de grupos más simples
- Un grupo que contiene una gran cantidad de elementos de simetría a menudo se puede construir a partir de grupos más simples.
- 1.7: Definición matemática de un grupo
- Un grupo matemático se define como un conjunto de elementos junto con una regla para formar nuevas combinaciones dentro de ese grupo. El número de elementos se llama el orden del grupo. Para nuestros propósitos, los elementos son las operaciones de simetría de una molécula y la regla para combinarlos es la aplicación secuencial de operaciones de simetría investigadas en el apartado anterior. Los elementos del grupo y la regla para combinarlos deben cumplir ciertos criterios.
- 1.8: Revisión de Matrices
- Una matriz n×m es una matriz bidimensional de números con n filas y m columnas. Este módulo aborda las definiciones básicas y las operaciones de las matrices son particularmente relavantes para los aspectos de simetría.
- 1.9: Matrices de transformación
- Las matrices se pueden utilizar para mapear un conjunto de coordenadas o funciones en otro conjunto. Las matrices utilizadas para este propósito se denominan matrices de transformación. En la teoría de grupos, podemos utilizar matrices de transformación para llevar a cabo las diversas operaciones de simetría consideradas al inicio del curso. Como ejemplo sencillo, investigaremos las matrices que usaríamos para llevar a cabo algunas de estas operaciones de simetría en un vector modelo.
- 1.10: Representaciones Matriciales de Grupos
- Las operaciones de simetría en un grupo pueden ser representadas por un conjunto de matrices de transformación, una para cada elemento de simetría. Cada matriz individual se llama un representante de la operación de simetría correspondiente, y el conjunto completo de matrices se llama una representación matricial del grupo. Los representantes de la matriz actúan sobre alguna base elegida conjunto de funciones, y las matrices reales que componen una representación determinada dependerán de la base que se haya elegido.
- 1.11: Propiedades de las representaciones matriciales
- Ahora que hemos aprendido a crear una representación matricial de un grupo puntual dentro de una base determinada, pasaremos a ver algunas de las propiedades que hacen que estas representaciones sean tan poderosas en el tratamiento de la simetría molecular.
- 1.12: Reducción de Representaciones I
- Una matriz diagonal de bloques se puede escribir como la suma directa de las matrices que se encuentran a lo largo de la diagonal. Obsérvese que una suma directa es muy diferente a la suma de matriz ordinaria ya que produce una matriz de mayor dimensionalidad.
- 1.13: Representaciones irreducibles y especies de simetría
- Cuando se considera que dos representaciones irreducibles unidimensionales son idénticas, tienen la 'misma simetría', transformándose de la misma manera bajo todas las operaciones de simetría del grupo de puntos y formando bases para la misma representación matricial. Como tales, se dice que pertenecen a la misma especie de simetría. Hay un número limitado de formas en las que una función arbitraria puede transformarse bajo las operaciones de simetría de un grupo, dando lugar a un número limitado de especies de simetría.
- 1.14: Tablas de caracteres
- Una tabla de caracteres resume el comportamiento de todas las posibles representaciones irreducibles de un grupo bajo cada una de las operaciones de simetría del grupo. En muchas aplicaciones de la teoría de grupos, solo necesitamos conocer los caracteres de las matrices representativas, en lugar de las matrices mismas. Por suerte, cuando cada función base se transforma como una representación irreducible 1D hay un simple atajo para determinar los caracteres sin tener que construir toda la representación matricial.
- 1.15: Reducción de representaciones II
- La formación de enlaces depende de las simetrías de los orbitales atómicos constituyentes. Para hacer pleno uso de la teoría de grupos en las aplicaciones que estaremos considerando, necesitamos desarrollar un poco más de 'maquinaria'. Específicamente, dado un conjunto de bases necesitamos averiguar: (1) Cómo determinar las representaciones irreducibles abarcadas por las funciones base y (2) Cómo construir combinaciones lineales de las funciones básicas originales que se transforman como una especie de representación/simetría irreducible dada.
- 1.16: Combinaciones lineales adaptadas a simetría (SALC)
- Una vez que conocemos las representaciones irreducibles abarcadas por un conjunto de bases arbitrarias, podemos elaborar las combinaciones lineales apropiadas de funciones básicas que transforman los representantes de la matriz de nuestra representación original en forma diagonal de bloque (es decir, las combinaciones lineales adaptadas a simetría). Cada una de las SALC se transforma como una de las representaciones irreducibles de la representación reducida.
- 1.17: Determinar si una Integral puede ser distinta de cero
- A medida que continuemos con este curso, descubriremos que hay muchas ocasiones en las que nos gustaría saber si una integral en particular es necesariamente cero, o si existe la posibilidad de que sea distinta de cero. A menudo podemos usar la teoría de grupos para diferenciar estos dos casos.
- 1.18: Adhesión en Diatómica
- Ya estarás familiarizado con la idea de construir orbitales moleculares a partir de combinaciones lineales de orbitales atómicos de cursos anteriores que cubren la unión en moléculas diatómicas. Resulta que la regla que determina si se pueden unir o no dos orbitales atómicos es que deben pertenecer a la misma especie de simetría dentro del grupo puntual de la molécula.
- 1.19: Unión en Poliatómica- Construcción de Orbitales Moleculares a partir de SALC
- En la sección anterior mostramos cómo usar la simetría para determinar si dos orbitales atómicos pueden formar un enlace químico. ¿Cómo llevamos a cabo el mismo procedimiento para una molécula poliatómica, en la que muchos orbitales atómicos pueden combinarse para formar un enlace? Cualquier SALC de la misma simetría podría formar potencialmente un enlace, así que todo lo que necesitamos hacer para construir un orbital molecular es tomar una combinación lineal de todas las SALC de la misma especie de simetría.
- 1.20: Cálculo de energías orbitales y coeficientes de expansión
- El cálculo de las energías orbitales y los coeficientes de expansión se basa en el principio de variación, que establece que cualquier función de onda aproximada debe tener una energía mayor que la función de onda verdadera. Esto se desprende directamente de la idea bastante sentido común de que en general cualquier sistema trata de minimizar su energía. Si una función de onda 'aproximada' tuviera una energía menor que la función de onda 'verdadera', esperaríamos que el sistema intentara adoptar este estado 'aproximado' de menor energía.
- 1.21: Resolviendo las ecuaciones seculares
- Cualquier conjunto de ecuaciones lineales puede ser reescrito como una ecuación matricial Ax = b, que puede clasificarse como ecuaciones lineales simultáneas o ecuaciones lineales homogéneas, dependiendo de si b es distinto de cero o cero. el conjunto de ecuaciones solo tiene una solución si el determinante de A es igual a cero. Las ecuaciones seculares que queremos resolver son ecuaciones homogéneas, y utilizaremos esta propiedad del determinante para determinar las energías orbitales moleculares.
- 1.22: Resumen de los pasos involucrados en la construcción de orbitales moleculares
- Los ocho pasos se utilizan para construir orbitales moleculares arbitrarios de sistemas poliatómicos.
- 1.23: Un ejemplo de unión más complicado
- La teoría de grupos puede ser utilizada para construir los orbitales moleculares de moléculas usando un conjunto de bases que consiste en todos los orbitales de valencia. Esto se demoniza para la consideración del agua y rquuqires de la representación adecuada y los caracteres de las matrices y las SALC extraídas.
- 1.24: Vibraciones moleculares
- Los movimientos vibracionales de las moléculas poliatómicas son mucho más complicados que los de una diatómica. Dado que cambiar la longitud de un enlace en un poliatómico a menudo afectará la longitud de los enlaces cercanos, no podemos considerar el movimiento vibratorio de cada enlace de forma aislada; en cambio, hablamos de modos normales que involucran el movimiento concertado de grupos de enlaces. La teoría de grupos puede ser utilizada para identificar las simetrías de los modos de movimiento traslacional, rotacional y vibracional de una molécula.
- 1.25: Resumen de la aplicación de la teoría de grupos a los movimientos moleculares
- Se presenta un resumen de los pasos involucrados en la aplicación de la teoría de grupos a los movimientos moleculares.
- 1.26: Teoría de Grupos y Estados Electrónicos Moleculares
- Un orbital molecular es que es una 'efunción de onda de un electrón', es decir, una solución a la ecuación de Schrödinger para la molécula. Un estado electrónico se define por la configuración electrónica del sistema, y por los números cuánticos de cada electrón que contribuyen a esa configuración. La simetría de un estado electrónico se determienda tomando el producto directo de las representaciones irreducibles para todos los electrones involucrados en ese estado.
- 1.27: Espectroscopia - Interacción de Átomos y Moléculas con la Luz
- Ya hemos utilizado la teoría de grupos para aprender sobre los orbitales moleculares en una molécula. En esta sección mostraremos que también se puede utilizar para predecir a qué estados electrónicos se puede acceder por absorción de un fotón. También podemos usar la teoría de grupos para investigar cómo se puede usar la luz para excitar los diversos modos vibracionales de una molécula poliatómica.
- 1.28: Resumen
- Ojalá este texto le haya dado una introducción razonable a la descripción cualitativa de la simetría molecular, y también a la forma en que puede ser utilizada cuantitativamente dentro del contexto de la teoría de grupos para predecir importantes propiedades moleculares.