6.11: Movimiento Reversible de Una Masa en Un Campo Gravitacional Constante

Exploremos más a fondo nuestras ideas sobre la reversibilidad considerando el caso familiar de una bola de boliche que puede moverse verticalmente en el campo gravitacional efectivamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Comenzamos observando que desarrollamos nuestra descripción abstrayendo de la realidad. Consideramos modelos idealizados porque queremos desarrollar teorías que capten las características más importantes de los sistemas reales. Ignoramos características menos importantes. En el presente ejemplo, sabemos que el comportamiento de la bola de boliche estará ligeramente influenciado por su interacción friccional con la atmósfera circundante. (Atribuimos estas interacciones a una propiedad del aire que llamamos viscosidad.) Suponemos que este efecto puede ser ignorado. Esto no causa dificultad siempre y cuando nuestros experimentos sean demasiado insensibles para observar los efectos de este arrastre atmosférico. Si es necesario, por supuesto, podríamos hacer nuestros experimentos dentro de una cámara de vacío, para que el sistema que estudiamos experimentalmente cumpla mejor con los supuestos que hacemos en nuestro análisis. Alternativamente, podríamos ampliar nuestra teoría para incluir los efectos del arrastre atmosférico.

Para elevar una bola de boliche inicialmente estacionaria a una altura mayor requiere que apliquemos una fuerza vertical hacia arriba que exceda la fuerza gravitacional descendente sobre la pelota. Dejar que la altura aumente en dirección ascendente, y deje\(h\left(t\right)\) y\(v\left(t\right)\) sea la altura y velocidad (vertical) de la bola en el momento\(t\). Deja que la masa de la pelota sea\(m\), y deja que la pelota esté en reposo en el tiempo cero. Representando la velocidad inicial y la altura como\(v_0\) y\(h_0\), tenemos\(v_0=v\left(0\right)=0\) y\(h_0=h\left(0\right)=0\). Dejar que la aceleración gravitacional sea\(g,\) la fuerza gravitacional sobre la bola es\(f_{gravitation}=-mg\). Para levantar la pelota, debemos aplicar una fuerza vertical,\(f_{applied}>0\), que hace que la fuerza neta sobre la pelota sea mayor a cero. Es decir, requerimos

\[f_{net}=f_{applied}-mg>0\]para que\[{m\frac{d^2h}{dt^2}=f}_{net}\]

Si\(f_{applied}\) es constante,\(f_{net}\) es constante; encontramos para la altura y velocidad de la pelota en cualquier momento posterior\(t\),

\[v\left(t\right)=\left(\frac{f_{net}}{m}\right)t\]

y

\[h\left(t\right)=\left(\frac{f_{net}}{m}\right)\frac{t^2}{2}\]

Consideremos el estado del sistema cuando la pelota alcanza una altura particular,\(h_S\). Deje que el tiempo, la velocidad, la energía cinética y la energía potencial correspondientes en\(h_S\)\(t_S\), sea\(v_S\)\({\tau }_S\),, y\({\textrm{ʋ}}_S\), respectivamente. Desde

\[v_S=\left(\frac{f_{net}}{m}\right)t_S\]

y

\[h_S=\left(\frac{f_{net}}{m}\right)\frac{t^2_S}{2}\]

tenemos

\[\tau \left(h_S\right)=\frac{mv^2_S}{2} =\frac{m}{2}{\left(\frac{f_{net}}{m}\right)}^2t^2_S =f_{net}h_S\]

La energía que debemos suministrar para mover la pelota desde la altura cero a\(h_S\) es igual al trabajo que realizan los alrededores sobre la pelota. El incremento en la energía de la pelota es\(-\hat{w}\). En\(h_S\) esta entrada la energía está presente como la energía cinética y potencial de la pelota. Tenemos

\[-\hat{w}=\int^{h_S}_{h=o}{f_{applied}dh} =\int^{h_S}_{h=0}{\left(f_{net}+mg\right)dh}=f_{net}h_S+mgh_S =\tau \left(h_S\right)+\textrm{ʋ}\left(h_S\right)\]

donde están las energías cinética y potencial\(\tau \left(h_S\right)=f_{net}h_S\) y\(\textrm{ʋ}\left(h_S\right)=mgh_S\), respectivamente.

El balón se eleva sólo si la fuerza neta ascendente es positiva:\(f_{net}=f_{applied}-mg>0\). Entonces la pelota llega\(h_S\) con una velocidad distinta de cero y energía cinética. Si hacemos cada vez\(f_{net}\) más pequeños, la pelota tarda cada vez más en llegar\(h_S\); cuando llega, su velocidad y energía cinética son cada vez más pequeñas. No obstante, no importa cuánto tiempo le lleve alcanzar la pelota\(h_S\), cuando llegue, su energía potencial es\(\textrm{ʋ}\left(h_S\right)=mgh_S\),

Ahora, consideremos el cambio energético en un proceso en el que la pelota comienza en reposo a la altura cero y termina en reposo en\(h_S\). Al final, tenemos\(\tau \left(h_S\right)=0\). Para efectuar este cambio en un sistema real, debemos aplicar una fuerza neta ascendente a la pelota para que se mueva; posteriormente debemos aplicar una fuerza neta hacia abajo para ralentizar la pelota de tal manera que su velocidad llegue a ser cero exactamente en el momento en que alcanza\(h_S\). Hay infinitamente muchas formas en las que podríamos aplicar fuerzas para cumplir con estas condiciones. El cambio neto en la energía del balón es el mismo para todos ellos.

Nos parece útil utilizar un proceso hipotético para calcular este cambio energético. En este proceso hipotético, la fuerza ascendente siempre es suficiente para oponerse a la fuerza gravitacional sobre la pelota. Es decir,\(f_{net}=0\) para que\(f_{applied}=mg\), y a partir del desarrollo anterior\(v_S=0\) y\(\tau \left(h_S\right)=0\). Por supuesto,\(t_{\infty }=\infty\). Se trata de un proceso hipotético, porque la pelota en realidad no se movería bajo estas condiciones. Vemos que el proceso hipotético es el caso limitante en una serie de procesos reales en los que hacemos cada\(f_{net}>0\) vez más pequeños. En todos estos procesos, el potencial cambio energético es

\[\textrm{ʋ}\left(h_S\right)=\int^{h_S}_{h=0}{mgdh=}mgh_S\]

Si la pelota está estacionaria y\(f_{applied}=mg\), la pelota permanece en reposo, sea cual sea su altura. Si hacemos\(f_{applied}>mg\), la pelota se levanta. Si hacemos\(f_{applied}<mg\) >, la pelota cae. Si\(f_{net}\approx 0\) y la pelota se mueve solo lentamente en cualquier dirección, un cambio muy pequeño\(f_{net}=f_{applied}-mg\) puede ser suficiente para invertir la dirección del movimiento. Estas son las características de un proceso reversible: un cambio arbitrariamente pequeño en la fuerza aplicada cambia la dirección del movimiento.

La ventaja de trabajar con el hipotético proceso reversible es que la integral de la fuerza aplicada sobre la distancia a través de la cual actúa es el cambio en la energía potencial del sistema. Si bien en realidad no podemos llevar a cabo un proceso reversible, podemos calcular el trabajo que se debe hacer si conocemos la fuerza limitante que se requiere para efectuar el cambio. Esto es cierto porque la velocidad y la energía cinética de la bola son cero a lo largo del proceso. Cuando el proceso es reversible, el cambio en la energía potencial de la pelota es igual al trabajo realizado en la pelota; tenemos

\[-\hat{w}\left(h_S\right)=w\left(h_S\right)=\textrm{ʋ}\left(h_S\right)\]

La energía potencial gravitacional es un factor importante en algunos problemas de interés en la química. Otras formas de energía potencial son importantes mucho más a menudo. Por lo general, nuestro interés principal es el cambio energético potencial asociado con un cambio en la composición química de un sistema. Rara vez nos interesa la energía cinética asociada al movimiento de un sistema macroscópico en su conjunto. Podemos incluir efectos que surgen de las fuerzas gravitacionales o del movimiento de todo el sistema en nuestros modelos termodinámicos, pero rara vez encontramos la necesidad de hacerlo. Para los sistemas en los que el movimiento de todo el sistema es importante, las leyes de la mecánica suelen ser suficientes; descubrimos lo que queremos saber sobre dichos sistemas resolviendo sus ecuaciones de movimiento.

Cuando discutimos la primera ley de la termodinámica, escribimos\(E=q+w\) (o\(dE=dq+dw\)) para el cambio energético que acompaña a algún cambio físico en un sistema. Dado que las aplicaciones químicas rara vez requieren que consideremos la ubicación del sistema o la velocidad con la que puede estar moviéndose, “\(w\)” generalmente abarca solo trabajo que cambia la energía del propio sistema. Entonces,\(E\) designa la energía del propio sistema macroscópico. Como se señaló anteriormente, a menudo reconocemos esto al llamar a la energía del sistema su energía interna. Algunos escritores utilizan el símbolo\(U\) para representar la energía interna, con la intención de hacer explícito que la energía en discusión es independiente de la ubicación y el movimiento del sistema.