10.9: La Relación entre Cv y Cp para Cualquier Sustancia

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En el Capítulo 7, derivamos la relación entre\(C_P\) y\(C_V\) para un gas ideal. Es útil tener una relación entre estas cantidades que sea válida para cualquier sustancia. Podemos derivar esta relación a partir de las ecuaciones para las\(dS\) que desarrollamos en las Secciones 10.4 y 10.5. Si aplicamos la regla de división a\(dS\) expresado en función de\(dT\) y dV, a presión constante, tenemos

\[{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P = \frac{C_V}{T} + {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \nonumber\]

De\(dS\) expresado en función de\(T\) y\(P\),

\[dS = \frac{C_P}{T}dT + {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_PdP \nonumber\]

tenemos

\[{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P = \frac{C_P}{T}\]para que\[\frac{C_P}{T} = \frac{C_V}{T} + {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \nonumber\]

\[C_P + C_V = T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \label{eq10}\]

Para un gas ideal, el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq10} se reduce a\(R\), de acuerdo con nuestro resultado anterior. Tenga en cuenta también que, para cualquier sustancia,\(C_P\) y\(C_V\) llegar a ser iguales cuando la temperatura va a cero.

Las derivadas parciales en el lado derecho pueden estar relacionadas con los coeficientes de expansión térmica\(\alpha\), y compresibilidad isotérmica,\(\beta\). Usando

\[\frac{\alpha }{\beta } = {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V \nonumber\]

podemos escribir la relación entre\(C_P\) y\(C_V\) como

\[C_P + C_V = \frac{VT{\alpha }^{\mathrm{2}}}{\beta } \nonumber\]