18.2: Energía cuantificada - Hipótesis de De Broglie y ecuación de Schroedinger

Posterior a la propuesta de Planck de cuantificar la energía, la introducción de dos conceptos más condujo a la teoría de la mecánica cuántica. El primero fue la teoría de la relatividad de Einstein, y su deducción de ella de la equivalencia de materia y energía. La energía relativista de una partícula viene dada por

\[E^2=p^2c^2+m^2_0c^4\]

donde\(p\) está el impulso y\(m_0\) es la masa de la partícula cuando está en reposo. El segundo fue la hipótesis de Broglie de que cualquier partícula de masa que\(m\) se mueve a velocidad\(v\), se comporta como una ola. La hipótesis de De Broglie es un postulado independiente sobre la estructura de la naturaleza. En este sentido, su estatus es el mismo que el de las leyes de Newton o las leyes de la termodinámica. Sin embargo, podemos construir una línea de pensamiento que probablemente sea similar a la de Broglie, reconociendo que se trata de argumentos heurísticos y no de deducciones lógicas.

Podemos suponer que el pensamiento de Broglie fue algo así: Planck y Einstein han propuesto que la radiación electromagnética —un fenómeno ondulatorio— tiene la propiedad de partículas de que viene en grumos discretos (fotones). Esto quiere decir que las cosas que pensamos como ondas pueden comportarse como partículas. Por el contrario, los fotones en forma de bultos se comportan como ondas. ¿Es posible que otras cosas grumosas puedan comportarse como olas? En particular, ¿es posible que las partículas de material tengan propiedades onduladas? Si una partícula de material se comporta como una ola, ¿qué propiedades onduladas debería exhibir?

Bueno, si vamos a llamar a algo onda, debe tener una longitud de onda,\(\lambda\), una frecuencia\(\nu\), y una velocidad de propagación,\(v\), y estas deben estar relacionadas por la ecuación\(v=\lambda \nu\). La velocidad de propagación de la luz se le da convencionalmente el símbolo\(c\), así\(c=\lambda \nu\). La hipótesis de Planck-Einstein dice que la energía de una partícula (fotón) es\(E=h\nu ={hc}/{\lambda }\). Einstein propone que la energía de una partícula viene dada por\(E^2=p^2c^2+m^2_0c^4\). Un fotón viaja a la velocidad de la luz. Esto es compatible con otras ecuaciones relativistas sólo si la masa restante de un fotón es cero. Por lo tanto, para un fotón, debemos tener\(E=pc\). Al igualar estas ecuaciones de energía, encontramos que el impulso de un fotón es

\[p={h}/{\lambda }\]

Ahora en un ejercicio adicional de imaginación, podemos suponer que esta ecuación se aplica también a cualquier masa que se mueva con cualquier velocidad. Entonces podemos reemplazar\(p\) con\(mv\), y escribir\[mv={h}/{\lambda }\]

Interpretamos esto en el sentido de que cualquier masa,\(m\), moviéndose con velocidad,\(v\), tiene una longitud de onda,\(\lambda\), dada por

\[\lambda ={h}/{mv}\]

Esta es la hipótesis de Broglie. Hemos imaginado que de Broglie lo encontró por una serie de conjeturas y suposiciones imaginativas y no del todo lógicas. Las partes ilógicas son la razón por la que llamamos al resultado una hipótesis más que una derivación, y la originalidad de las conjeturas y suposiciones es la razón por la que la hipótesis de Broglie era nueva. Es importante la física, porque resulta ser experimentalmente válida. Las partículas muy pequeñas sí exhiben propiedades onduladas, y la hipótesis de Broglie predice correctamente sus longitudes de onda.

En una línea similar, podemos imaginar que Schrödinger siguió una línea de pensamiento algo así: de Broglie propone que cualquier partícula en movimiento se comporta como una onda cuya longitud de onda depende de su masa y velocidad. Si una partícula se comporta como una onda, debe tener otra propiedad de onda; debe tener una amplitud. En general, la amplitud de una onda depende de la ubicación y el tiempo, pero estamos pensando en un tipo de onda bastante particular, una ola que, por así decirlo, se queda donde la ponemos. Es decir, se supone que nuestra ola describe una partícula, y las partículas no se disipan en todas direcciones como las olas que obtenemos cuando lanzamos una roca en un estanque. Llamamos a una onda que se queda puesta una onda estacionaria; se distingue por el hecho de que su amplitud depende de la ubicación pero no del tiempo.

Matemáticamente, la amplitud de cualquier onda puede describirse como una suma de (posiblemente muchos) términos sinusoidales y coseno. Un solo término sinusoidal describe una onda simple. Si se trata de una onda estacionaria, su amplitud depende únicamente de la distancia, y su amplitud es la misma para dos puntos cualesquiera separados por una longitud de onda. Dejando que la amplitud sea\(\psi\), esta onda estacionaria se describe por\(\psi \left(x\right)=A{\mathrm{sin} \left(ax\right)\ }\), donde\(x\) esta la ubicación, expresada como una distancia desde el origen en\(x=0\). En esta ecuación de onda,\(A\) y\(a\) se encuentran parámetros que fijan la amplitud máxima y la longitud de onda, respectivamente. Exigir que la longitud de onda sea\(\lambda\) significa que\(a\lambda =2\pi\). (Ya que\(\psi\) es una función sinusoidal, se repite cada vez que su argumento aumenta en\(2\pi\) radianes. Requerimos que se\(\psi\) repita cada vez que su argumento aumenta en\(a\lambda\) radianes, lo que lo requiere\(a\lambda =2\pi\).) Por lo tanto, tenemos\[a={2\pi }/{\lambda }\]

y la ecuación de onda debe ser

\[\psi \left(x\right)=A{\mathrm{sin} \left({2\pi x}/{\lambda }\right)\ }\]

Ecuaciones,\(\psi\), que describen ondas estacionarias satisfacen la ecuación diferencial

\[\frac{d^2\psi }{dx^2}=-C\psi\]

donde\(C\) es una constante. En la presente instancia, vemos que

\[\frac{d^2\psi }{dx^2}=-{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2A{\mathrm{sin} \left(\frac{2\pi x}{\lambda }\right)\ }=-{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2\psi\]

De la hipótesis de Broglie, tenemos\(\lambda ={h}/{mv}\), para que la constante\(C\) pueda escribirse como

\[C={\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2={\left(\frac{2\pi mv}{h}\right)}^2={\left(\frac{2\pi }{h}\right)}^2\left(2m\right)\left(\frac{{mv}^2}{2}\right)=\left(\frac{8{\pi }^2m}{h^2}\right)\left(\frac{{mv}^2}{2}\right)\]

\(T\)Sea la energía cinética,\({{mv}^2}/{2}\), y deje\(V\) ser la energía potencial de nuestra partícula ondulada. Entonces su energía es\(E=T+V\), y tenemos\({{mv}^2}/{2}=T=E-V\).

La constante\(C\) se convierte

\[C=\left(\frac{8{\pi }^2m}{h^2}\right)T=\left(\frac{8{\pi }^2m}{h^2}\right)\left(E-V\right)\]

Haciendo esta sustitución\(C\), encontramos una ecuación diferencial que describe una onda estacionaria, cuya longitud de onda satisface la ecuación de Broglie. Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión:

\[\frac{d^2\psi }{dx^2}=-\left(\frac{8{\pi }^2m}{h^2}\right)\left(E-V\right)\psi\]o\[-\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\right)\frac{d^2\psi }{dx^2}+V\psi =E\psi\]

A menudo, la última ecuación se escribe como

\[\left[-\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\right)\frac{d^2}{dx^2}+V\right]\psi =E\psi\]

donde la expresión entre corchetes se llama operador hamiltoniano y se abrevia a\(H\), de modo que la ecuación de Schrödinger se convierte simplemente, si crípticamente,

\[H\psi =E\psi\]

Si sabemos cómo la energía potencial de una partícula,\(V\), depende de su ubicación, podemos anotar el operador hamiltoniano y la ecuación de Schrödinger que describen las propiedades de onda de la partícula. Entonces necesitamos encontrar las ecuaciones de onda que satisfagan esta ecuación diferencial. Esto puede ser difícil incluso cuando la ecuación de Schrödinger involucra solo una partícula. Cuando escribimos la ecuación de Schrödinger para un sistema que contiene múltiples partículas que interactúan entre sí, como por ejemplo un átomo que contiene dos o más electrones, las soluciones analíticas se vuelven inalcanzables; solo son posibles soluciones aproximadas. Afortunadamente, se puede hacer mucho con soluciones aproximadas.

La ecuación de Schrödinger identifica el valor de la función de onda\(\psi \left(x\right)\), con la amplitud de la onda de partícula en la ubicación x Desafortunadamente, no hay interpretación física para\(\psi \left(x\right)\); es decir, ninguna cantidad medible corresponde al valor de\(\psi \left(x\right)\). Hay, sin embargo, una interpretación física para el producto\(\psi \left(x\right)\psi \left(x\right)\) o\({\psi }^2\left(x\right)\). [Más exactamente, el producto\(\psi \left(x\right){\psi }^*\left(x\right)\), donde\({\psi }^*\left(x\right)\) está el complejo conjugado de\(\psi \left(x\right)\). En general,\(x\) es una variable compleja.] \({\psi }^2\left(x\right)\)es la función de densidad de probabilidad para la partícula cuya función de onda es\(\psi \left(x\right)\). Es decir, el producto\({\psi }^2\left(x\right)dx\) es la probabilidad de encontrar la partícula dentro de una pequeña distancia,\(dx\), de la ubicación\(x\). Como la partícula debe estar en alguna parte, también tenemos

\[1=\int^{+\infty }_{-\infty }{{\psi }^2\left(x\right)}dx\]