18.5: Soluciones a Ecuaciones Schroedinger para Osciladores Armónicos y Rotores Rígidos

Podemos aproximar la función de onda para una molécula dividiéndola en funciones de onda para los modos traslacional, rotacional, vibracional y electrónico individuales. Las funciones de onda para cada uno de estos modos pueden aproximarse mediante soluciones a una ecuación de Schrödinger que se aproxime a ese modo. Nuestro objetivo en este capítulo es introducir los niveles de energía cuantificados que se encuentran.

Los modos traslacionales son aproximados por la partícula en un modelo de caja que discutimos anteriormente.

Los modos vibracionales son aproximados por las soluciones de la ecuación de Schrödinger para osciladores armónicos acoplados. El movimiento vibracional de una molécula diatómica es aproximado por las soluciones de la ecuación de Schrödinger para la vibración de dos masas unidas por un resorte. Que la distancia entre las masas sea\(r\) y la distancia de equilibrio sea\(r_0\). Deje que la masa reducida de la molécula sea\(\mu\), y deje que la fuerza constante para el resorte sea\(\lambda\). De la mecánica clásica, la energía potencial del sistema es

\[V\left(r\right)=\frac{\lambda {\left(r-r_0\right)}^2}{2}\]

y la frecuencia vibracional del oscilador clásico es\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\lambda }{\mu }}\]

La ecuación de Schrödinger es

\[-\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2\mu }\right)\frac{d^2\psi }{dr^2}+\frac{\lambda {\left(r-r_0\right)}^2}{2}\psi =E\psi\]

Las soluciones a esta ecuación son las funciones de onda y los niveles de energía que constituyen la descripción mecánica cuántica del oscilador armónico clásico. Los niveles de energía vienen dados por

\[E_n=h\nu \left(n+\frac{1}{2}\right)\]

donde los números cuánticos,\(n\), pueden tener cualquiera de los valores\(n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots .\) El nivel de energía más bajo, aquel para el cual\(n=0\), tiene una energía distinta de cero; es decir,

\[E_0={h\nu }/{2}\]

El oscilador mecánico cuántico puede tener infinitamente muchas energías, cada una de las cuales es un múltiplo medio integral de la frecuencia clásica,\(\nu\). Cada energía mecánica cuántica corresponde a una frecuencia mecánica cuántica:

\[{\nu }_n=\nu \left(n+\frac{1}{2}\right)\]

Un rotor rígido clásico consta de dos masas que están conectadas por una varilla rígida sin peso. El rotor rígido es una mancuerna. Las masas giran alrededor de su centro de masa. Cada movimiento rotacional bidimensional de una molécula diatómica es aproximado por las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el movimiento de un rotor rígido en un plano. El modelo más simple asume que el término potencial es cero para todos los ángulos de rotación. Dejando\(I\) ser el momento de inercia de la molécula y\(\varphi\) ser el ángulo de rotación, la ecuación de Schrödinger es

\[-\left( \frac{h^2}{8\pi ^2I}\right) \frac{d^2\psi }{d \varphi ^2}=E\psi\]

Los niveles de energía vienen dados por

\[E_m=\frac{m^2h^2}{8\pi ^2I}\]

donde los números cuánticos\(m\),, pueden tener cualquiera de los valores\(m=1,\ 2,\ 3,\ \dots .,\) (pero no cero). Cada uno de estos niveles de energía es dos veces degenerado. Es decir, dos estados mecánicos cuánticos de la molécula tienen la energía\(E_m\).

El movimiento de rotación tridimensional de una molécula diatómica es aproximado por las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el movimiento de un rotor rígido en tres dimensiones. Nuevamente, el modelo más simple asume que el término potencial es cero para todos los ángulos de rotación. Dejando\(\theta\) y\(\varphi\) siendo los dos ángulos de rotación requeridos para describir la orientación en tres dimensiones, la ecuación de Schrödinger es

\[-\frac{h^2}{8{\pi }^2I}\left(\frac{1}{\mathrm{sin} \theta} \frac{\partial }{\partial \theta } \left(\mathrm{sin} \theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{\mathrm{sin}^2 \theta }\frac{d^2\psi }{d{\varphi }^2}\right)=E\psi\]

Los niveles de energía vienen dados por

\[E_J=\frac{h^2}{8{\pi }^2I}J\left(J+1\right)\]

donde los números cuánticos\(J\),, pueden tener cualquiera de los valores\(J=0,\ 1,\ 2\ ,3,\ \dots .\)\(E_J\) es\(\left(2J+1\right)\) -fold degenerado. Es decir, hay estados mecánicos\(2J+1\) cuánticos de la molécula todos los cuales tienen la misma energía,\(E_J\).

Las ecuaciones para los niveles de energía rotacional de moléculas más grandes son más complejas.