18.6: Funciones de onda, estados cuánticos, niveles de energía y degeneraciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 74575

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Aproximamos la función de onda para una molécula usando un producto de funciones de onda aproximadas, cada una de las cuales modela algún subconjunto de los movimientos que sufre la molécula. En general, las funciones de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger de la molécula son degeneradas; es decir, dos o más de estas funciones de onda tienen la misma energía. (La partícula unidimensional en una caja y el oscilador armónico unidimensional tienen soluciones no degeneradas. El rotor rígido en un plano tiene soluciones doblemente degeneradas; dos ondulaciones tienen la misma energía. El\(J\) -ésimo nivel de energía del rotor rígido tridimensional es\(\left(2J+1\right)\) -fold degenerado; hay\(\left(2J+1\right)\) ondulaciones cuya energía es\(E_J\).) Utilizamos símbolos doblemente suscritos para representar las funciones de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger de la molécula. Escribimos\({\psi }_{i,j}\) para representar todas las funciones de onda molecular cuya energía es\({\epsilon }_i\). Dejamos\(g_i\) ser el número de ondulaciones cuya energía es\({\epsilon }_i\). Nosotros decimos que el nivel de energía\({\epsilon }_i\) es\(g_i\) -fold degenerado. Las funciones de onda

\[{\psi }_{i,1},\ {\psi }_{i,2},\ \dots ,\ {\psi }_{i,j},\dots ,\ {\psi }_{i,g_i}\]

son todos solución a la ecuación de Schrödinger de la molécula; tenemos

\[H_{molecule}{\psi }_{i,j}={\epsilon }_i{\psi }_{i,j}\]

para\(j=1,\ 2,\ \dots ,\ g_i\). Cada nivel de energía\({\epsilon }_i\) está asociado con estados\(g_i\) cuánticos. Por simplicidad, podemos pensar en cada una de las funciones de\(g_i\) onda,\({\psi }_{i,j}\), como un estado cuántico; sin embargo, la ecuación de Schrödinger de la molécula también está satisfecha por cualquier conjunto de combinaciones lineales\(g_i\) independientes de la\({\psi }_{i,j}\). Para los propósitos actuales, lo único que importa es que hay descripciones\(g_i\) cuánticas-mecánicas —estados cuánticos— todos los cuales tienen energía\({\epsilon }_i\).