20.12: La degeneración de un sistema aislado y su entropía

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En la Sección 20.9, encontramos que la suma de las probabilidades de los conjuntos poblacionales de un sistema aislado es

\[1=\sum_{\left\{N_i\right\},E}{W\left(N_i,g_i\right){\rho }_{MS,N,E}}.\]

Por el principio de probabilidades iguales a priori,\({\rho }_{MS,N,E}\) es una constante, y se puede factorizar a partir de la suma. Tenemos

\[1={\rho }_{MS,N,E}\sum_{\left\{N_i\right\},E}{W\left(N_i,g_i\right)}\]

Además, la suma de las probabilidades termodinámicas sobre todos los conjuntos de población permitidos es solo el número de microestados que tienen energía\(E\). Esta suma es solo la degeneración de la energía del sistema,\(E\). A menudo\(\mathit{\Omega}_E\) se le da el símbolo a esta degeneración sistema-energía. Es decir,

\[\mathit{\Omega}_E=\sum_{\left\{N_i\right\},E}{W\left(N_i,g_i\right)}\]

La suma de las probabilidades de los conjuntos poblacionales de un sistema aislado se convierte

\[1={\rho }_{MS,N,E}{\mathit{\Omega}}_E\]

En la Sección 20.9, inferimos que

\[\rho_{MS,N,E}=\prod^{\infty }_{i=1}{\rho \left({\epsilon }_i\right)^{N_i}}\]

por lo que tenemos

\[1={\mathit{\Omega}}_E\prod^{\infty }_{i=1}\rho \left(\epsilon_i\right)^{N_i}\]