1.2: Cálculo de cantidad
- Page ID
- 77795
Esta sección da ejemplos de cómo podemos manipular las cantidades físicas por las reglas del álgebra. El método se llama cálculo de cantidad, aunque un término mejor podría ser “álgebra de cantidad”.
El cálculo de la cantidad se basa en el concepto de que una cantidad física, a menos que sea adimensional, tiene un valor igual al producto de un valor numérico (un número puro) y una o más unidades:\ begin {ecuación}\ tx {cantidad física =\(\times\) unidades de valor numérico}\ tag {1.2.1}\ end { ecuación} (Si la cantidad es adimensional, es igual a un número puro sin unidades.) La propiedad física puede ser denotada por un símbolo, pero el símbolo no implica una elección particular de unidades. Por ejemplo, este libro electrónico utiliza el símbolo\(\rho\) para la densidad, pero se\(\rho\) puede expresar en cualquier unidad que tenga las dimensiones de masa divididas por volumen.
Un ejemplo sencillo ilustra el uso del cálculo cuantitativo. Podemos expresar la densidad del agua en\(25\units{\(\degC\)}\) a cuatro dígitos significativos en unidades base SI por la ecuación\ begin {ecuación}\ rho = 9.970\ timesten {2}\ unidades {kg m\(^{-3}\)}\ tag {1.2.2}\ end {ecuación} y en diferentes unidades de densidad por la ecuación\ begin {ecuación}\ rho = 0.9970\ unidades {g cm\(^{-3}\)}\ tag {1.2.3}\ end {ecuación} Podemos dividir ambos lados de la última ecuación por\(1\units{g cm\(^{-3}\)}\) para obtener una nueva ecuación\ begin {ecuación}\ rho/\ tx {g cm\(^{-3}\)} =0.9970\ tag {1.2.4}\ end {ecuación} Ahora el número puro\(0.9970\) que aparece en esta ecuación es el número de gramos en un centímetro cúbico de agua, entonces nosotros puede llamar a la relación\(\rho/\) g cm\(^{-3}\) “el número de gramos por centímetro cúbico”. Por el mismo razonamiento,\(\rho/\) kg m\(^{-3}\) es el número de kilogramos por metro cúbico. En general, una cantidad física dividida por unidades particulares para la cantidad física es un número puro que representa el número de esas unidades.
Así como sería incorrecto llamar\(\rho\) “el número de gramos por centímetro cúbico”, porque eso se referiría a una elección particular de unidades para\(\rho\), la práctica común de llamar\(n\) “el número de moles” tampoco es estrictamente hablando correcta. En realidad es la relación la\(n/\tx{mol}\) que es el número de moles.
En una tabla, la relación\(\rho/\) g cm\(^{-3}\) hace un encabezado conveniente para una columna de valores de densidad porque la columna puede mostrar entonces números puros. Asimismo, es conveniente usar\(\rho/\) g cm\(^{-3}\) como etiqueta de un eje de gráfico y mostrar números puros en las marcas de cuadrícula del eje. Verás muchos ejemplos de este uso en las tablas y figuras de este libro electrónico.
Una ventaja importante de usar unidades base SI y unidades derivadas de SI es que son coherentes. Es decir, los valores de una cantidad física expresados en diferentes combinaciones de estas unidades tienen el mismo valor numérico.
Por ejemplo, supongamos que deseamos evaluar la presión de un gas de acuerdo con la ecuación de gas ideal\ begin {recopilar}\ s {p=\ frac {nRT} {V}}\ tag {1.2.5}\ cond {(gas ideal)}\ end {recopilar} Esta es la primera ecuación que, como muchas otras a seguir, muestra condiciones de validez entre paréntesis inmediatamente debajo del número de ecuación a la derecha. Así, la Ec. 1.2.5 es válida para un gas ideal. En esta ecuación,\(p\),\(n\)\(T\), y\(V\) son los símbolos para las cantidades físicas presión, cantidad (cantidad de sustancia), temperatura termodinámica, y volumen, respectivamente, y\(R\) es la constante de gas.
El cálculo de\(p\) para\(5.000\) moles de un gas ideal a una temperatura de\(298.15\) kelvin, en un volumen de metros\(4.000\) cúbicos, es\ begin {ecuación} p =\ frac {(5.000\ mol) (\ R) (298.15\ K)} {4.000\ unidades {m\(^{3}\)}} = 3.099\ timesten {3}\ unidades {J m\(^{-3}\)}\ tag {1.2.6}\ end {ecuación} El mol y unidades kelvin cancelan, y nos quedamos con unidades de J m\(^{-3}\), una combinación de una unidad derivada del SI (el joule) y una unidad base SI (el medidor). Las unidades J m\(^{-3}\) deben tener dimensiones de presión, pero no se utilizan comúnmente para expresar presión.
Para convertir J m\(^{-3}\) a la unidad de presión derivada SI, el pascal (Pa), podemos usar las siguientes relaciones de la Tabla 1.2:\ begin {ecuación} 1\ unidades {J} = 1\ unidades {N m}\ qquad 1\ Pa =1\ unidades {N m\(^{-2}\)}\ tag {1.2.7}\ end {ecuación} Cuando dividimos ambos lados de la primera relación por\(1\units{J}\) y dividimos ambos lados de la segunda relación por\(1\units{N m\(^{-2}\)}\), obtenemos las dos nuevas relaciones\ begin {ecuación} 1= (1\ units {N m}/\ tx {J})\ qquad (1\ units {Pa}/\ tx {N m\(^{-2}\)}) =1\ tag {1.2.8}\ end {ecuación} Las proporciones entre paréntesis son factores de conversión. Cuando una cantidad física se multiplica por un factor de conversión que, como estos, es igual al número puro\(1\), la cantidad física cambia sus unidades pero no su valor. Cuando multiplicamos la ecuación 1.2.6 por ambos factores de conversión, todas las unidades cancelan excepto Pa:\ begin {ecuación}\ begin {split} p & = (3.099\ timesten {3}\ unidades {J m\(^{-3}\)})\ times (1\ unidades {N m}/\ tx {J})\ times (1\ Pa/\ tx {N m\(^{-2}\)})\ & = 3.099\ timesten {3}\ Pa\ end {split}\ tag {1.2.9}\ end {ecuación}
Este ejemplo ilustra el hecho de que para calcular una cantidad física, simplemente podemos ingresar en una calculadora valores numéricos expresados en unidades SI, y el resultado es el valor numérico de la cantidad calculada expresado en unidades SI. En otras palabras, siempre y cuando usemos solo unidades base SI y unidades derivadas SI (sin prefijos), todos los factores de conversión son unidad.
Por supuesto que no tenemos que limitar el cálculo a unidades SI. Supongamos que deseamos expresar la presión calculada en torrs, una unidad no SI. En este caso, utilizando un factor de conversión obtenido de la definición del torr en la Tabla 1.3, el cálculo se convierte en\ begin {ecuación}\ begin {split} p & = (3.099\ timesten {3}\ Pa)\ times (760\ unidades {Torr} /101,325\ Pa)\ & = 23.24\ unidades {Torr}\ end {split}\ tag {1.2.10}\ ecuación final}