1.3: Análisis Dimensional

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Howard DeVoe
University of Maryland

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En ocasiones se puede detectar un error en forma de ecuación o expresión, o en las dimensiones de una cantidad utilizada para un cálculo, comprobando la consistencia dimensional. Aquí hay algunas reglas que deben cumplirse:

En este libro electrónico el diferencial de una función, tal como\(\df\), se refiere a una cantidad infinitesimal. Si un lado de una ecuación es una cantidad infinitesimal, el otro lado también debe serlo. Así, la ecuación\(\df = a\dx + b\dif y\) (donde\(ax\) y\(by\) tienen las mismas dimensiones que\(f\)) tiene sentido matemático, pero no\(\df = ax+b\dif y\) lo hace.
Las derivadas, las derivadas parciales y las integrales tienen dimensiones que debemos tener en cuenta a la hora de determinar las dimensiones generales de una expresión que las incluya. Por ejemplo:
- Algunos ejemplos de aplicación de estos principios se dan aquí utilizando símbolos descritos en la Sec. 1.2.
  Ejemplo 1. Dado que la constante de gas\(R\) puede expresarse en unidades de J K\(^{-1}\) mol\(^{-1}\), tiene dimensiones de energía divididas por temperatura termodinámica y cantidad. Así,\(RT\) tiene dimensiones de energía divididas por cantidad, y\(nRT\) tiene dimensiones de energía. Los productos\(RT\) y\(nRT\) aparecen frecuentemente en expresiones termodinámicas.
  
  Ejemplo 3. Encontrar las dimensiones de las constantes\(a\) y\(b\) en la ecuación de van der Waals El análisis\[ p = \frac {nRT}{V-nb} - \frac {n^{2}a} {V^2} \] dimensional nos dice que, porque\(nb\) se resta de\(V\),\(nb\) tiene dimensiones de volumen y por lo tanto\(b\) tiene dimensiones de volumen/cantidad. Además, dado que el lado derecho de la ecuación es una diferencia de dos términos, estos términos tienen las mismas dimensiones que el lado izquierdo, que es la presión. Por lo tanto, el segundo término\(n^{2}a/V^{2}\) tiene dimensiones de presión, y\(a\) tiene dimensiones de\(^{2}\)\(\times\) cantidad de\(\times\) volumen de presión\(^{-2}\).
  
  Ejemplo 4. Considerar una ecuación de la forma\[ \Pd{\ln x}{T}{\!p} = \frac {y}{R} \] ¿De qué son las unidades SI\(y\)? \(\ln x\)es adimensional, por lo que el lado izquierdo de la ecuación tiene las dimensiones de\(1/T\), y sus unidades SI son K\(^{-1}\). Las unidades SI del lado derecho son, por lo tanto, también K\(^{-1}\). Ya que\(R\) tiene las unidades J K\(^{-1}\) mol\(^{-1}\), las unidades SI de\(y\) son J K\(^{-2}\) mol\(^{-1}\).