4.3: Conceptos desarrollados con motores Carnot

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4.3.1 Motores Carnot y ciclos Carnot

¿Podría la eficiencia del motor Carnot ser diferente de la eficiencia que tendría la bomba de calor cuando funciona en reversa como motor Carnot? Si es así, o bien el supersistema es un dispositivo Clausius imposible como se muestra en la Fig. 4.7 (b), o el supersistema operado en reversa (con las funciones de cambio de motor y bomba de calor) es un dispositivo Clausius imposible como se muestra en la Fig. 4.7 (d). Concluimos que todos los motores Carnot que operan entre las mismas dos temperaturas tienen la misma eficiencia.

Este es un buen lugar para hacer una pausa y pensar en el significado de esta afirmación a la luz de que los pasos de un motor Carnot, al ser cambios reversibles, no pueden darse en un sistema real (Sec. 3.2). ¿Cómo puede funcionar un motor que no es real? El enunciado es un ejemplo de un tipo común de taquigrafía termodinámica. Para expresar la misma idea con mayor precisión, se podría decir que todos los motores térmicos (sistemas reales) que operan entre las mismas dos temperaturas tienen la misma eficiencia limitante, donde el límite es el límite reversible que se aproxima a medida que los pasos del ciclo se realizan cada vez más lentamente. Se debe interpretar cualquier afirmación que implique un proceso reversible de manera similar: un proceso reversible es un proceso limitante idealizado que puede ser abordado pero nunca alcanzado del todo por un sistema real.

Así, la eficiencia de un motor Carnot debe depender únicamente de los valores de\(T\subs{c}\)\(T\subs{h}\) y no de las propiedades de la sustancia de trabajo. Dado que la eficiencia viene dada por\(\epsilon = 1+q\subs{c}/q\subs{h}\), la relación\(q\subs{c}/q\subs{h}\) debe ser una función única de\(T\subs{c}\) y\(T\subs{h}\) solo. Para encontrar esta función para temperaturas en la escala de temperatura de gas ideal, es más sencillo elegir como sustancia de trabajo un gas ideal.

Un gas ideal tiene la ecuación de estado\(pV=nRT\). Su cambio de energía interna en un sistema cerrado viene dado por\(\dif U = C_V\dif T\) (Ec. 3.5.3), donde\(C_V\) (una función solamente de\(T\)) es la capacidad calorífica a volumen constante. El trabajo de expansión reversible viene dado por\(\dw = -p\dif V\), que para un gas ideal se convierte\(\dw = -(nRT/V)\dif V\). Sustituyendo estas expresiones por\(\dif U\) y\(\dw\) en la primera ley,\(\dif U = \dq + \dw\), y resolviendo para\(\dq\), obtenemos\ begin {reúnen}\ s {\ dq = C_V\ dif T +\ frac {nRT} {V}\ dif V}\ tag {4.3.4}\ cond {(gas ideal, reversible}\ nextcond {trabajo de expansión solamente)}\ end {reunir} Dividiendo ambos lados por \(T\)da\ begin {recoger}\ s {\ frac {\ dq} {T} =\ frac {C_V\ dif T} {T} + nR\ frac {\ dif V} {V}}\ tag {4.3.5}\ cond {(gas ideal, reversible}\ nextcond {trabajo de expansión solamente)}\ end {reunir} En los dos pasos adiabáticos del ciclo Carnot,\(\dq\) es cero. Obtenemos una relación entre los volúmenes de los cuatro estados etiquetados mostrados en la Fig. 4.3 integrando la Eq. 4.3.5 sobre estos pasos y estableciendo las integrales iguales a cero:\ begin {equation}\ tx {Path B\(\ra\) C:}\ qquad\ int\! \ frac {\ dq} {T} =\ int_ {T\ subs {h}} ^ {T\ subs {c}}\ frac {C_V\ dif T} {T} + nR\ ln\ frac {V\ subs {C}} {V\ subs {B}} = 0\ tag {4.3.6}\ fin {ecuación}

\ begin {ecuación}\ tx {Ruta D\(\ra\) A:}\ qquad\ int\! \ frac {\ dq} {T} =\ int_ {T\ subs {c}} ^ {T\ subs {h}}\ frac {C_V\ dif T} {T} + nR\ ln\ frac {V\ subs {A}} {V\ subs {D}} = 0\ tag {4.3.7}\ end {ecuación}} sumando estas dos ecuaciones (la se muestran con límites cancel) da la relación\ begin {ecuación} nR\ ln\ frac {V\ subs {A} V\ subs {C}} {V\ subs {B} V\ subs {D}} =0\ tag {4.3.8}\ end { ecuación} que podemos reorganizar para\ comenzar {reunir}\ s {\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A}) = -\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})}\ tag {4.3.9}\ cond {(gas ideal, ciclo Carnot)}\ end {reunir} Obtenemos expresiones para el calor en los dos pasos isotérmicos por integrando la Eq. 4.3.4 con un\(\dif T\) conjunto igual a 0. \ begin {ecuación}\ tx {ruta A\(\ra\) B}:\ qquad q\ subs {h} = nRT\ subs {h}\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A})\ tag {4.3.10}\ end {ecuación}\ begin {ecuación}\ tx {ruta C\(\ra\) D}:\ qquad q\ subs {c} = nRT\ subs {c}\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})\ tag {4.3.11}\ end {ecuación} La relación de\(q\subs{c}\) y\(q\subs{h}\) obtenida de estas expresiones es\ begin {ecuación}\ frac {q\ subs {c}} {q\ subs {h}} =\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}}\ veces\ frac {\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})} {\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A})}\ tag {4.3.12}\ end {ecuación} Por medio de la ecuación 4.3.9, esta relación se convierte en\ begin {recopilar}\ s {\ frac {q\ subs {c}} {q\ subs {h}} =-\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}} \ tag {4.3.13}\ cond {(ciclo Carnot)}\ end {reunir} En consecuencia, la función única de\(T\subs{c}\) y\(T\subs{h}\) buscamos que sea igual a\(q\subs{c}/q\subs{h}\) es la relación\(-T\subs{c}/T\subs{h}\). La eficiencia, a partir de la Ecuación 4.3.3, viene dada entonces por\ begin {reunir}\ s {\ épsilon = 1 -\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}}}\ tag {4.3.14}\ cond {(Motor Carnot)}\ end {reunir} En las Ecuaciones 4.3.13 y 4.3.14,\(T\subs{c}\) y\(T\subs{h}\) son temperaturas en la escala de gas ideal. Como hemos visto, estas ecuaciones deben ser válidas para cualquier sustancia de trabajo; no es necesario especificar como condición de validez que el sistema sea un gas ideal.

El ratio\(T\subs{c}/T\subs{h}\) es positivo pero menor a uno, por lo que la eficiencia es menor a uno como se deduce antes. Esta conclusión es una ilustración de la declaración Kelvin—Planck de la segunda ley: Un motor térmico no puede tener una eficiencia de unidad, es decir, no puede convertir en un ciclo toda la energía transferida por el calor de un solo depósito de calor en trabajo. El ejemplo mostrado en la Fig. 4.5, con\(\epsilon = 1/4\), debe tener\(T\subs{c}/T\subs{h} = 3/4\) (e.g.,\(T\subs{c} = 300\K\) y\(T\subs{h} = 400\K\)).

Tenga en cuenta que un motor Carnot opera reversiblemente entre dos depósitos de calor. La expresión de la Ec. 4.3.14 da solo la eficiencia de este tipo de motor térmico idealizado. Si alguna parte del ciclo se realiza de manera irreversible, la disipación de energía mecánica provocará que la eficiencia sea inferior al valor teórico dado por la Ec. 4.3.14.

4.3.4 Temperatura termodinámica

La relación negativa\(q\subs{c}/q\subs{h}\) para un ciclo de Carnot depende únicamente de las temperaturas de los dos depósitos de calor. Kelvin (1848) propuso que esta relación se utilice para establecer una escala de temperatura “absoluta”. La cantidad física ahora llamada temperatura termodinámica se define por la relación\ begin {reúnen}\ s {\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}} =-\ frac {q\ subs {c}} {q\ subs {h}}\ tag {4.3.15}\ cond {(ciclo Carnot)}\ end {reúnen} Es decir, la relación de las temperaturas termodinámicas de dos depósitos de calor es igual, por definición, a la relación de las cantidades absolutas de calor transferidas en las etapas isotérmicas de un ciclo de Carnot que opera entre estas dos temperaturas. En principio, una medición de\(q\subs{c}/q\subs{h}\) durante un ciclo de Carnot, combinada con un valor definido de la temperatura termodinámica de uno de los depósitos de calor, puede establecer la temperatura termodinámica del otro reservorio de calor. Este valor definido es proporcionado por el punto triple de H\(_2\) O; su temperatura termodinámica se define como exactamente\(273.16\) kelvin.

Así como las mediciones con un termómetro de gas en el límite de presión cero establecen la escala de temperatura ideal del gas (Sec. 2.3.5), el comportamiento de un motor térmico en el límite reversible establece la escala de temperatura termodinámica. Nótese, sin embargo, que un motor Carnot reversible utilizado como “termómetro” para medir la temperatura termodinámica es sólo un concepto teórico y no un instrumento práctico, ya que en la práctica no puede ocurrir un proceso completamente reversible.

Ahora es posible justificar la afirmación en la Sec. 2.3.5 de que la escala de temperatura ideal del gas es proporcional a la escala de temperatura termodinámica. Tanto la Ec. 4.3.13 como la Ec. 4.3.15 equiparan la relación\(T\subs{c}/T\subs{h}\) a\(-q\subs{c}/q\subs{h}\); pero mientras que\(T\subs{c}\) y\(T\subs{h}\) se refieren en la Ecuación 4.3.13 a las temperaturas ideales del gas de los depósitos de calor, en la Ec. 4.3.15 se refieren a las temperaturas termodinámicas. Esto significa que la relación de las temperaturas ideales de gas de dos cuerpos es igual a la relación de las temperaturas termodinámicas de los mismos cuerpos, y por lo tanto las dos escalas son proporcionales entre sí. El factor de proporcionalidad es arbitrario, pero debe ser unidad si se utiliza la misma unidad (e.g., kelvin) en ambas escalas. Así, como se afirma en la Sec. 2.3.5, las dos escalas expresadas en kelvin son idénticas.