5.9: Capítulo 5 Problemas

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Un número de problema subrayado o una letra de parte del problema indica que la respuesta numérica aparece en el Apéndice I.

5.1
Demostrar que la entalpía de una cantidad fija de un gas ideal depende únicamente de la temperatura.

5.2 A
partir de los conceptos de este capítulo, muestran que las capacidades térmicas\(C_V\) y\(C_p\) de una cantidad fija de un gas ideal son funciones solamente de\(T\).

5.3
Durante la expansión reversible de una cantidad fija de un gas ideal, cada incremento de calor viene dado por la expresión\(\dq=C_V \dif T + (nRT/V)\dif V\) (Ec. 4.3.4).

a) Una condición necesaria y suficiente para que esta expresión sea un diferencial exacto es que se cumpla la relación de reciprocidad para las variables independientes\(T\) y\(V\) (ver Apéndice F). Aplicar esta prueba para demostrar que la expresión no es un diferencial exacto, y que el calor por lo tanto no es una función de estado.

(b) Por el mismo método, mostrar que el incremento de entropía durante la expansión reversible, dado por la expresión\(\dif S=\dq/T\), es un diferencial exacto, por lo que la entropía es una función de estado.

5.4

Este problema ilustra cómo una expresión de uno de los potenciales termodinámicos en función de sus variables naturales contiene la información necesaria para obtener expresiones para los otros potenciales termodinámicos y muchas otras funciones de estado.

A partir de la teoría estadística mecánica, un modelo simple para un hipotético líquido de “esfera dura” (moléculas esféricas de tamaño finito sin fuerzas intermoleculares atractivas) da la siguiente expresión para la energía Helmholtz con sus variables naturales\(T\),\(V\), y\(n\) como la independiente variables:\[ A = -nRT\ln\left[cT^{3/2}\left(\frac{V}{n}-b\right)\right] - nRT + na \] Aquí\(a\)\(b\),, y\(c\) son constantes. Derivar expresiones para las siguientes funciones de estado de este líquido hipotético como funciones de\(T\)\(V\), y\(n\).

a) La entropía,\(S\)

b) La presión,\(p\)

c) El potencial químico,\(\mu\)

d) La energía interna,\(U\)

e) La entalpía,\(H\)

f) La energía Gibbs,\(G\)

g) La capacidad calorífica a volumen constante,\(C_V\)

(h) La capacidad calorífica a presión constante,\(C_p\) (indicio: utilizar la expresión\(p\) para resolver para\(V\) en función de\(T\)\(p\), y\(n\); luego usar\(H=U+pV\))

5.6
Utilice los datos del Cuadro 5.1 para evaluar\(\pd{S}{A\subs{s}}{T,p}\) a\(25\units{\(\degC\)}\), que es la velocidad a la que la entropía cambia con el área de la interfaz aire—agua a esta temperatura.

5.7
Cuando una banda de goma ordinaria se cuelga de una abrazadera y se estira con una fuerza descendente constante\(F\) por un peso unido al extremo inferior, se observa un calentamiento suave para hacer que la banda de goma se contraiga en longitud. Para mantener constante la longitud\(l\) de la banda de goma durante el calentamiento, se\(F\) debe aumentar. El trabajo de estiramiento viene dado por\(\dw'=F\dif l\). A partir de esta información, encuentre el signo de la derivada parcial\(\pd{T}{l}{S,p}\); luego prediga si el estiramiento de la banda de goma provocará un efecto de calentamiento o enfriamiento.

(Pista: hacer una transformación de Legendre\(U\) cuyo diferencial total tenga las variables independientes necesarias para la derivada parcial, y escribir una relación de reciprocidad.)

Puedes verificar tu predicción experimentalmente tocando una goma elástica al costado de tu cara antes y después de estirarla rápidamente.