3.5: Representaciones de Schrödinger y Heisenberg

La formulación matemática de la dinámica cuántica que se ha presentado no es única. Hasta el momento, hemos descrito la dinámica propagando la función de onda, que codifica densidades de probabilidad. En última instancia, como no podemos medir una función de onda, nos interesan los observables, que son amplitudes de probabilidad asociadas a operadores hermitianos, con dependencia del tiempo que se puede interpretar de manera diferente. Considere el valor de expectativa:

\[\begin{align} \langle \hat {A} (t) \rangle & = \langle \psi (t) | \hat {A} | \psi (t) \rangle = \left\langle \psi ( 0 ) \left| U^{\dagger} \hat {A} U \right| \psi ( 0 ) \right\rangle \\[4pt] & = ( \langle \psi ( 0 ) | U^{\dagger} ) \hat {A} ( U | \psi ( 0 ) \rangle ) \label{S rep} \\[4pt] & = \left\langle \psi ( 0 ) \left| \left( U^{\dagger} \hat {A} U \right) \right| \psi ( 0 ) \right\rangle \label{2.76} \end{align} \]

Las dos últimas expresiones están escritas para enfatizar “imágenes” alternas de la dinámica. Ecuación\ ref {S rep} se conoce como la imagen de Schrödinger, se refiere a todo lo que hemos hecho hasta ahora. Aquí propagamos la función de onda o vectores propios en el tiempo como\(U | \psi \rangle\). Los operadores no cambian porque no llevan dependencia del tiempo. Alternativamente, podemos trabajar en la imagen de Heisenberg (Ecuación\ ref {2.76}) que usa la propiedad unitaria de\(U\) para propagar en el tiempo los operadores como\(\hat {A} (t) = U^{\dagger} \hat {A} U,\) pero la función de onda ahora es estacionaria. El cuadro de Heisenberg tiene detrás una atractiva imagen física, porque las partículas se mueven. Es decir, hay una dependencia del tiempo a la posición y al impulso.

Schrödinger Foto

En la imagen de Schrödinger, el desarrollo temporal de\(| \psi \rangle\) se rige por el TDSE

\[i \hbar \frac {\partial} {\partial t} | \psi \rangle = H | \psi \rangle \label{2.77A}\]

o equivalentemente, el propagador del tiempo:

\[| \psi (t) \rangle = U \left( t , t _ {0} \right) | \psi \left( t _ {0} \right) \rangle \label{2.77B}\]

En la imagen de Schrödinger, los operadores suelen ser independientes del tiempo,\(\partial A / \partial t = 0\). ¿Qué pasa con los observables? Para valores de expectativa de los operadores

\[\langle A (t) \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle\]

\[\begin{align} i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \langle \hat {A} (t) \rangle & = i \hbar \left[ \left\langle \psi | \hat {A} | \frac {\partial \psi} {\partial t} \right\rangle + \left\langle \frac {\partial \psi} {\partial t} | \hat {A} | \psi \right\rangle + \cancel{\left\langle \psi \left| \frac {\partial \hat {A}} {\partial t} \right| \psi \right\rangle} \right] \\[4pt] & = \langle \psi | \hat {A} H | \psi \rangle - \langle \psi | H \hat {A} | \psi \rangle \\[4pt] & = \langle [ \hat {A} , H ] \rangle \label{2.78} \end{align}\]

Si\(\hat{A}\) es independiente del tiempo (como esperamos en la imagen de Schrödinger), y si viaja con él\(\hat{H}\), se le conoce como una constante de movimiento.

Heisenberg Foto

De la ecuación\ ref {2.76}, podemos distinguir la imagen de Schrödinger de los operadores de Heisenberg:

\[\hat {A} (t) = \langle \psi (t) | \hat {A} | \psi (t) \rangle _ {S} = \left\langle \psi \left( t _ {0} \right) \left| U^{\dagger} \hat {A} U \right| \psi \left( t _ {0} \right) \right\rangle _ {S} = \langle \psi | \hat {A} (t) | \psi \rangle _ {H} \label{2.79}\]

donde el operador se define como

\[\left.\begin{aligned} \hat {A} _ {H} (t) & = U^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) \hat {A} _ {S} U \left( t , t _ {0} \right) \\[4pt] \hat {A} _ {H} \left( t _ {0} \right) & = \hat {A} _ {S} \end{aligned} \right. \label{2.80}\]

Tenga en cuenta que las imágenes tienen la misma función de onda en el punto de referencia\(t_0\). Dado que la función de onda debe ser independiente del tiempo\(\partial | \psi _ {H} \rangle / \partial t = 0\), podemos relacionar las funciones de onda de Schrödinger y Heisenberg como

\[| \psi _ {S} (t) \rangle = U \left( t , t _ {0} \right) | \psi _ {H} \rangle \label{2.81}\]

Entonces,

\[| \psi _ {H} \rangle = U^{\dagger} \left( t , t _ {0} \right) | \psi _ {S} (t) \rangle = | \psi _ {S} \left( t _ {0} \right) \rangle \label{2.82}\]

Como se esperaba para una transformación unitaria, en cualquiera de las imágenes se conservan los valores propios:

\[\begin{align} \hat {A} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} & = a _ {i} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} \\[4pt] U^{\dagger} \hat {A} U U^{\dagger} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} & = a _ {i} U^{\dagger} | \varphi _ {i} \rangle _ {S} \\[4pt] \hat {A} _ {H} | \varphi _ {i} \rangle _ {H} & = a _ {i} | \varphi _ {i} \rangle _ {H} \end{align} \label{2.83}\]

La evolución temporal de los operadores en el panorama de Heisenberg es:

\[ \begin{aligned} \frac {\partial \hat {A} _ {H}} {\partial t} & = \frac {\partial} {\partial t} \left( U^{\dagger} \hat {A} _ {s} U \right) = \frac {\partial U^{\dagger}} {\partial t} \hat {A} _ {s} U + U^{\dagger} \hat {A} _ {s} \frac {\partial U} {\partial t} + U^{\dagger} \cancel{\frac {\partial \hat {A}} {\partial t}} U \\[4pt] &= \frac {i} {\hbar} U^{\dagger} H \hat {A} _ {S} U - \frac {i} {\hbar} U^{\dagger} \hat {A} _ {S} H U + \left( \cancel{\frac {\partial \hat {A}} {\partial t}} \right) _ {H} \\[4pt] &= \frac {i} {\hbar} H _ {H} \hat {A} _ {H} - \frac {i} {\hbar} \hat {A} _ {H} H _ {H} \\[4pt] &= - \frac {i} {\hbar} [ \hat {A} , H ] _ {H} \end{aligned} \label{2.84}\]

El resultado

\[i \hbar \frac {\partial} {\partial t} \hat {A} _ {H} = [ \hat {A} , H ] _ {H} \label{2.85}\]

se conoce como la ecuación de movimiento de Heisenberg. Aquí he escrito el aspecto extraño\(H _ {H} = U^{\dagger} H U\). Esto es principalmente para recordar a uno sobre la dependencia del tiempo de\(\hat{H}\). Generalmente hablando, para un hamiltoniano independiente del tiempo\(U = e^{- i H t / h}\),\(U\) y\(H\) viaje, y\(H_H =H\). Para un hamiltoniano dependiente del tiempo,\(U\) y no\(H\) necesita desplazarse.

Equivalencia clásica para partículas en un potencial

La ecuación de Heisenberg se aplica comúnmente a una partícula en un potencial arbitrario. Considerar una partícula con un potencial unidimensional arbitrario

\[H = \frac {p^{2}} {2 m} + V (x) \label{2.86}\]

Para este hamiltoniano, la ecuación de Heisenberg da la dependencia temporal del impulso y la posición como

\[\dot {p} = - \frac {\partial V} {\partial x} \label{2.87}\]

\[\dot {x} = \frac {p} {m} \label{2.88}\]

Aquí, he hecho uso de

\[\left[ \hat {x}^{n} , \hat {p} \right] = i \hbar n \hat {x}^{n - 1} \label{2.89}\]

\[\left[ \hat {x} , \hat {p}^{n} \right] = i \hbar n \hat {p}^{n - 1} \label{2.90}\]

Curiosamente, los factores de\(\hbar\) han desaparecido en las Ecuaciones\ ref {2.87} y\ ref {2.88}, y la mecánica cuántica no parece estar presente. En cambio, estas ecuaciones indican que los operadores de posición e impulso siguen las mismas ecuaciones de movimiento que las ecuaciones de Hamilton para las variables clásicas. Si integramos la Ecuación\ ref {2.88} a lo largo de un periodo de tiempo\(t\) encontramos que el valor de expectativa para la posición de la partícula sigue el movimiento clásico.

\[\langle x (t) \rangle = \frac {\langle p \rangle t} {m} + \langle x ( 0 ) \rangle \label{2.91}\]

También podemos usar la derivada temporal de la Ecuación\ ref {2.88} para obtener una ecuación que refleja la segunda ley del movimiento de Newton,\(F=ma\):

\[m \frac {\partial^{2} \langle x \rangle} {\partial t^{2}} = - \langle \nabla V \rangle \label{2.92}\]

Estas observaciones subyacen al Teorema de Ehrenfest, una declaración de la correspondencia clásica de la mecánica cuántica, que establece que los valores de expectativa para los operadores de posición e impulso seguirán las ecuaciones clásicas de movimiento.

Lecturas

1. Cohen-Tannoudji, C.; Diu, B.; Lalöe, F., Mecánica Cuántica. Wiley-Interscience: París, 1977; p. 312.
2. Mukamel, S., Principios de Espectroscopia Óptica No Lineal. Oxford University Press: Nueva York, 1995.
3. Nitzan, A., Dinámica Química en Fases Condensadas. Oxford University Press: Nueva York, 2006; Ch. 4. 2-20
4. Sakurai, J. J., Mecánica Cuántica Moderna, Edición Revisada. Addison-Wesley: Reading, MA, 1994; Ch. 2.