11.3: La función de respuesta y absorción de energía
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Investiguemos la relación entre la función de respuesta lineal y la absorción de energía del agente externo, en este caso un campo electromagnético. Lo relacionaremos con el coeficiente de absorción\(\alpha = \dot {E} / I\) que hemos descrito anteriormente. Para este caso,
\[ H = H _ {0} - f (t) A = H _ {0} - \mu \cdot E (t) \label{10.64}\]
Esta expresión da la energía del sistema, por lo que la tasa de absorción de energía promediada sobre el conjunto de no equilibrio se describe por:
\[ \dot {E} = \dfrac {\partial \overline {H}} {\partial t} = - \dfrac {\partial f} {\partial t} \overline {A (t)} \label{10.65} \]
Vamos a querer hacer un ciclo promedio de esto sobre el campo oscilante, por lo que la tasa de absorción de energía promediada en el tiempo es
\[ \begin{align} \dot {E} & = \dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t \left[ - \dfrac {\partial f} {\partial t} \overline {A (t)} \right] \\[4pt] & = \dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t \dfrac {\partial f (t)} {\partial t} \left[ \langle A \rangle + \int _ {0}^{\infty} d \tau R ( \tau ) f ( t - \tau ) \right] \label{10.66} \end{align}\]
Aquí la función de respuesta es
\[R ( \tau ) = - i \langle [ \mu ( \tau ) , \mu ( 0 ) ] \rangle / \hbar.\]
Para un campo electromagnético monocromático, podemos escribir (y expandir)
\[ \begin{align} f (t) &= E _ {0} \cos \omega t \\[4pt] &= \dfrac {1} {2} \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \right] \label{10.67} \end{align}\]
lo que lleva a lo siguiente para el segundo término en la Ecuación\ ref {10.66}:
\[ \dfrac {1} {2} \int _ {0}^{\infty} d \tau R ( \tau ) \left[ E _ {0} e^{- i \omega ( t - \tau )} + E _ {0}^{*} e^{i \omega ( t - \tau )} \right] = \dfrac {1} {2} \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} \chi ( \omega ) + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \chi ( - \omega ) \right] \label{10.68}\]
Al diferenciar la ecuación\ ref {10.67}, y utilizarla con la ecuación\ ref {10.68} en la ecuación\ ref {10.66}, tenemos
\[ \dot {E} = - \dfrac {1} {T} \langle A \rangle [ f ( T ) - f ( 0 ) ] - \dfrac {1} {4 T} \int _ {0}^{T} d t \left[ - i \omega E _ {0} e^{- i \omega t} + i \omega E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \right] \left[ E _ {0} e^{- i \omega t} \chi ( \omega ) + E _ {0}^{*} e^{i \omega t} \chi ( - \omega ) \right] \label{10.69}\]
Ahora vamos a promediar por ciclo esta expresión, estableciendo\(T = 2 \pi / \omega\). El primer término se desvanece y los términos cruzados en segunda integral desaparecen, porque
\[\dfrac {1} {T} \int _ {0}^{T} d t e^{- i \omega t} e^{+ i \omega t} = 1\]
y
\[\int _ {0}^{T} d t e^{- i \omega t} e^{- i \omega t} = 0.\]
La tasa de absorción de energía del campo es
\[ \left.\begin{aligned} \dot {E} & = \dfrac {i} {4} \omega \left| E _ {0} \right|^{2} [ \chi ( - \omega ) - \chi ( \omega ) ] \\[4pt] & = \dfrac {\omega} {2} \left| E _ {0} \right|^{2} \chi^{\prime \prime} ( \omega ) \end{aligned} \right. \label{10.70}\]
Entonces, la absorción de energía por el sistema está relacionada con la parte imaginaria de la susceptibilidad. Ahora, a partir de la intensidad del campo incidente,
\[I = \dfrac{c \left| E _ {0} \right|^{2}}{8 \pi}\]
el coeficiente de absorción es
\[ \alpha ( \omega ) = \dfrac {\dot {E}} {I} = \dfrac {4 \pi \omega} {c} \chi^{\prime \prime} ( \omega ) \label{10.71} \]
Lecturas
- McQuarrie, D. A., Mecánica Estadística. Harper & Row: Nueva York, 1976.