2.4: Energía cinética
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Usar expresiones para\(v_{mp}\),\(v_{ave}\), o\(v_{rms}\), es bastante simple derivar expresiones para energía cinética a partir de la expresión
\[E_{kin} = \dfrac{1}{2} mv^2\]
Es importante recordar que habrá una distribución completa de velocidades moleculares en una muestra termalizada de gas. Algunas moléculas viajarán más rápido y otras más despacio. También es importante reconocer que los términos de energía cinética más probables, promedio y RMS que pueden derivarse de la Teoría Molecular Cinética no dependen de la masa de las moléculas (Cuadro 2.4.1). Como tal, se puede concluir que la energía cinética promedio de las moléculas en una muestra termalizada de gas depende únicamente de la temperatura. Sin embargo, la velocidad promedio depende de la masa molecular. Entonces, para una temperatura dada, las moléculas ligeras viajarán más rápido en promedio que las moléculas más pesadas.
| Propiedad | Velocidad | Energía cinética |
|---|---|---|
| Lo más probable | \( \sqrt{\dfrac{2k_bT}{m}}\) | \(k_BT\) |
| Promedio | \( \sqrt{\dfrac{8k_bT}{\pi m}}\) | \(\dfrac{4k_BT}{\pi}\) |
| Raíz media cuadrada | \( \sqrt{\dfrac{3k_bT}{m}}\) | \( \dfrac{3}{2} k_BT\) |
La Ley de Gas Ideal
La expresión de la velocidad molecular cuadrática media se puede utilizar para mostrar que el modelo molecular cinético de gases es consistente con la ley de gases ideal. Considerar la expresión de presión
\[ p =\dfrac{N_{tot}m}{3V} \langle v \rangle^2\]
Reemplazar\(\langle v \rangle^2\) con el cuadrado de los rendimientos de expresión de velocidad RMS
\[ p = \dfrac{N_{tot}m}{3V} \left( \dfrac{3k_BT}{m}\right)\]
lo que simplifica a
\[ p = \dfrac{N_{tot}k_BT}{V}\]
Observando que N tot = N∙N A, donde n es el número de moles y N A es el número de Avogadro
\[ p = \dfrac{nN_Ak_BT}{V}\]
o
\[ pV = nN_Ak_BT\]
Por último, señalando que\(N_A∙k_B = R\)
\[ pV = nRT\]
Eso es genial, ¿no? El único supuesto (más allá de los postulados de la Teoría Molecular Cinética) es que la distribución de velocidades para una muestra termalizada de gas es descrita por la ley de distribución Maxwell-Boltzmann. El siguiente desarrollo será utilizar la Teoría Molecular Cinética para describir las colisiones moleculares (que son eventos esenciales en muchas reacciones químicas).
Colisiones con el Muro
En la derivación de una expresión para la presión de un gas, es útil considerar la frecuencia con la que las moléculas de gas chocan con las paredes del contenedor. Para derivar esta expresión, considere la expresión para el “volumen de colisión”.
\[V_{col} = v_x \Delta t\ \cdot A\]
Todas las moléculas dentro de este volumen, y con una velocidad tal que el componente x exceda v x (y sea positivo) colisionarán con la pared. Esa fracción de moléculas viene dada por
\[ N_{col} = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle \Delta t \cdot A}{2}\]
y la frecuencia de colisiones con la pared por unidad de área por unidad de tiempo viene dada por
\[Z_w = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle}{2}\]
Para expandir este modelo en una forma más útil, se debe considerar el movimiento en las tres dimensiones. Considerando que
\[\langle v \rangle = \sqrt{\langle v_x \rangle +\langle v_y \rangle +\langle v_z \rangle}\]
y que
\[\langle v_x \rangle = \langle v_y \rangle =\langle v_z \rangle\]
se puede demostrar que
\[ \langle v \rangle = 2 \langle v_x \rangle\]
o
\[ \langle v_x \rangle = \dfrac{1}{2} \langle v \rangle\]
y así
\[Z_w = \dfrac{1}{4} \dfrac{N}{V} \langle v \rangle\]
El factor N/V a menudo se conoce como la “densidad numérica” ya que da el número de moléculas por unidad de volumen. A una presión de 1 atm y 298 K, la densidad numérica para un gas ideal es de aproximadamente 2.5 x 10 19 molécula/cm 3. (Este valor se calcula fácilmente usando la ley de gas ideal). En comparación, la densidad numérica promedio para el universo es aproximadamente de 1 molécula/cm 3.