7.3: Potencial Químico

De la misma manera que se define el volumen molar parcial, la función molar parcial de Gibbs se define para el compuesto\(i\) en una mezcla:

\[ \mu_i = \left( \dfrac{\partial G}{\partial n_i} \right) _{p,T,n_j\neq i} \label{eq1}\]

Esta función molar parcial particular es de particular importancia, y se llama el potencial químico. El potencial químico cuenta cómo cambiará la función de Gibbs a medida que cambie la composición de la mezcla. Y dado que los sistemas tienden a buscar una función Gibbs agregada mínima, el potencial químico apuntará a la dirección que el sistema puede mover para reducir la función total de Gibbs. En general, el cambio total en la función Gibbs (\(dG\)) se puede calcular a partir de

\[dG = \left( \dfrac{\partial G}{\partial p} \right) _{T,n_i} dp + \left( \dfrac{\partial G}{\partial T} \right) _{p, n_i }dT + \sum_i \left( \dfrac{\partial G}{\partial n_i} \right) _{T,n_j\neq i} dn_i\]

O bien, sustituyendo la definición por el potencial químico, y evaluando los derivados de presión y temperatura como se hizo en el Capítulo 6:

\[dG = Vdp - SdT + \sum_i \mu_i dn_i\]

Pero resulta que el potencial químico puede definirse como el derivado molar parcial cualquiera de las cuatro funciones termodinámicas principales\(U\),\(H\),\(A\), o\(G\):

Tabla\(\PageIndex{1}\): El potencial químico puede definirse como el derivado molar parcial de cualquiera de las cuatro funciones termodinámicas principales

\(dU = TdS - pdV + \sum_i \mu_i dn_i \)	\(\mu_i = \left( \dfrac{\partial U}{\partial n_i} \right) _{S,V,n_j\neq i}\)
\(dH = TdS - VdT + \sum_i \mu_i dn_i \)	\(\mu_i = \left( \dfrac{\partial H}{\partial n_i} \right) _{S,p,n_j\neq i}\)
\(dA = -pdV - TdS + \sum_i \mu_i dn_i \)	\(\mu_i = \left( \dfrac{\partial A}{\partial n_i} \right) _{V,T,n_j\neq i}\)
\(dG = Vdp - SdT + \sum_i \mu_i dn_i \)	\(\mu_i = \left( \dfrac{\partial G}{\partial n_i} \right) _{p,T,n_j\neq i}\)

La última definición, en la que el potencial químico se define como la función molar parcial de Gibbs es la más utilizada, y quizás la más útil (Ecuación\ ref {eq1}). Como la función más parcial de Gibbs, es fácil demostrar que

\[d\mu = Vdp - SdT\]

donde\(V\) es el volumen molar, y\(S\) es la entropía molar. Usando esta expresión, es fácil demostrar que

\[\left( \dfrac{\partial \mu}{\partial p} \right) _{T} = V\]

y así a temperatura constante

\[ \int_{\mu^o}^{\mu} d\mu = \int_{p^o}^{p} V\,dp \label{eq5}\]

De tal manera que para una sustancia para la cual el volumen molar es bastante independiente de la presión a temperatura constante (\(\kappa_T\)es decir, es muy pequeño), por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq5} se convierte

\[ \int_{\mu^o}^{\mu} d\mu = V \int_{p^o}^{p} dp\]

\[ \mu - \mu^o = V(p-p^o)\]

o

\[ \mu = \mu^o + V(p-p^o)\]

Donde\(p^o\) está una presión de referencia (generalmente la presión estándar de 1 atm) y\(\mu^o\) es el potencial químico a la presión estándar. Si la sustancia es altamente compresible (como un gas) se necesita la dependencia de la presión del volumen molar para completar la integral. Si la sustancia es un gas ideal

\[V =\dfrac{RT}{p}\]

Entonces, a temperatura constante, la Ecuación\ ref {eq5} luego se convierte

\[ \int_{\mu^o}^{\mu} d\mu = RT int_{p^o}^{p} \dfrac{dp}{p} \label{eq5b}\]

o

\[ \mu = \mu^o + RT \ln \left(\dfrac{p}{p^o} \right) \]