7.7: Solubilidad

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La solubilidad máxima de un soluto se puede determinar utilizando los mismos métodos que hemos utilizado para describir las propiedades coligativas. El potencial químico del soluto en una solución líquida se puede expresar

\[ \mu_{B} (solution) = \mu_B^o (liquid) + RT \ln \chi_B\]

Si este potencial químico es menor que el de un soluto sólido puro, el soluto se disolverá en el disolvente líquido (¡para lograr un potencial químico menor!) Entonces se alcanza el punto de saturación cuando el potencial químico del soluto en la solución es igual al del soluto sólido puro.

\[ \mu_B^o (solid) = \mu_B^o (liquid) + RT \ln \chi_B\]

Dado que la fracción molar a la saturación es de interés, podemos resolver para\(\ln(\chi_B)\).

\[\ln \chi_B = \dfrac{\mu_B^o (solid) = \mu_B^o (liquid)}{RT}\]

La diferencia en los potenciales químicos es la función molar de Gibbs para el cambio de fase de fusión. Así que esto puede ser reescrito

\[\ln \chi_B = \dfrac{-\Delta G_{fus}^o}{RT} \]

Sería conveniente que la solubilidad pudiera expresarse en términos de entalpía de fusión para el soluto en lugar del cambio de función de Gibbs. Afortunadamente, la ecuación de Gibbs-Helmholtz nos da un medio para hacer este cambio. Señalando que

\[ \left( \dfrac{\partial \left( \dfrac{\Delta G}{T} \right)}{\partial T} \right)_p = \dfrac{\Delta H}{T^2}\]

Diferenciación de la expresión anterior\(\ln(\chi_B)\) con respecto\(T\) a\(p\) rendimientos constantes

\[ \left( \dfrac{\partial \ln \chi_B}{\partial T} \right)_p = \dfrac{1}{R} \dfrac{\Delta H_{fus}}{T^2}\]

La separación de las variables pone esto en una forma integrable que se puede utilizar para ver cómo variará la solubilidad con la temperatura:

\[ \int_0^{\ln \chi_B} d \ln \chi_B = \dfrac{1}{R} \int_{T_f}^{T} \dfrac{\Delta H_{fus} dT}{T^2}\]

Entonces, si la entalpía de fusión es constante en el rango de temperatura de\(T_f\) hasta la temperatura de interés,

\[ \ln \chi_B = \dfrac{\Delta H_{fus}}{R} \left( \dfrac{1}{T_f} - \dfrac{1}{T} \right)\]

Y\(\chi_B\) dará la fracción molar del soluto en una solución saturada a la temperatura\(T\). El valor depende tanto de la entalpía de fusión como del punto de fusión normal del soluto.