2.E: La Ecuación de Onda Clásica (Ejercicios)

Las soluciones para seleccionar preguntas se pueden encontrar en línea.

2.1A

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4y = 0 \)
2. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\dfrac{dy}{dx} - 54y = 0\)
3. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y = 0 \)

2.1B

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 16y = 0 \)
2. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 6\dfrac{dy}{dx} + 27y = 0\)
3. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 100y = 0 \)

2.1C

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. \(\dfrac{dy}{dx} - 4\sin(x)y = 0 \)
2. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 5\dfrac{dy}{dx}+6y = 0\)
3. \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0 \)

2.2A

Practica resolver estas ecuaciones diferenciales homogéneas de primer y segundo orden con condiciones de límite dadas:

1. \(\dfrac{dy}{dx} = ay\)con\(y(0) = 11\)
2. \(\dfrac{d^2y}{dt^2} = ay\)con\(y(0) = 6\) y\(y'(0) = 4\)
3. \(\dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{dy}{dt} - 42y = 0\)con\(y(0) = 2\) y\(y'(0) = 0\)

2.3A

Demostrar que\(x(t)\) =\(\cos(\theta\)) oscila con una frecuencia

\[\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} \nonumber\]

Demostrar que\(x(t)\) =\(\cos(\theta\)) también tiene un periodo

\[T = {2\pi}\sqrt{\dfrac{m}{k}} \nonumber\]

donde\(k\) es constante la fuerza y\(m\) es masa del cuerpo.

2.3B

Trate de demostrar que

\[x(t)=\sin(\omega t)\nonumber \]

oscila con una frecuencia

\[\nu = \omega/2\pi\nonumber \]

Explica tu razonamiento. ¿Se puede dar otra función de x (t) que tenga la misma frecuencia.

2.3C

¿Cuáles dos funciones oscilan con la misma frecuencia?

1. \(x(t)=\cos( \omega t)\)
2. \(x(t)=\sin (2 \omega t)\)
3. \(x(t)=A\cos( \omega t)+B\sin( \omega t)\)

2.3D

Demostrar que\(x(t) = \cos(\omega(t))\) oscila con una frecuencia

\[\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} \nonumber.\]

Demostrar que\(x(t) = A \cos(\omega(t) + B \sin(\omega(t))\) oscila con la misma frecuencia:

\[\nu = \dfrac{\omega}{2\pi}. \nonumber\]

2.4

Demostrar que la ecuación diferencial:

\[\dfrac{d^2y}{dx^2} + y(x) = 0\nonumber \]

tiene una solución

\[ y(x)= 2\sin x + \cos x \nonumber \]

2.7

Para un oscilador armónico clásico, el desplazamiento viene dado por

\[ \xi (t)=v_0 \sqrt{\dfrac{m}{k}} \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}} t\ \nonumber \]

donde\(\xi=x-x_0\). Derive an expression for the velocity as a function of time, and determine the times at which the velocity of the oscillator is zero.

2.11

Verifica que

\[Y(x,t) = A \sin \left(\dfrac{2\pi }{\lambda}(x-vt) \right)\nonumber \]

tiene una frecuencia\(\nu\) =\(v\)/\(\lambda\)y una longitud de onda\(\lambda\) que viaja a la derecha con una velocidad\(v\).

2.13A

Explicar (en palabras) cómo expandir el hamiltoniano en dos dimensiones y usarlo resolver para la energía

2.13B

Dado que la ecuación de Schrödinger para una caja bidimensional, con lados\(a\) y\(b\), es

\[\dfrac{∂^2 Ψ}{∂x^2} + \dfrac{∂^2 Ψ}{∂y^2} +\dfrac{(8π^2mE) }{h^2}Ψ(x,y) = 0 \nonumber \]

y tiene las condiciones límite de

\(Ψ(0,y)= Ψ (a,y)=0\)y\(Ψ(o,x)= Ψ(x,b)=0\)

para todos\(x\) y\(y\) valores, muestran que

\[E_{2,2}=\left(\dfrac{h^2}{2ma^2}\right)+\left(\dfrac{h^2}{2mb^2}\right). \nonumber\]

2.14

Explicar, en palabras, cómo expandir las ecuaciones de Schrödinger en una caja tridimensional

2.18

Resolver la ecuación diferencial para un péndulo nos da la siguiente ecuación:

\[\phi(x)= c_1\cos {\sqrt{\dfrac{g}{L}}} +c_2\sin {\sqrt{\dfrac{g}{L}}} \nonumber \]

Asumiendo\(c_1=2\)\(c_3= 5\),\(L=3\),\(g=7\) y, ¿cuál es la posición del péndulo inicialmente? ¿Tiene sentido esto en el mundo real? ¿Por qué o por qué no? (Podemos ignorar unidades por este problema).

2.23

Considera una Partícula de masa\(m\) en una caja unidimensional de longitud\(a\). Su energía promedio viene dada por

\[\langle{E}\rangle = \dfrac{1}{2m}\langle p^2\rangle\nonumber \]

Porque

\[\langle{p}\rangle\ = 0\nonumber \]

\[\langle p^2\rangle = \sigma^{2}_{p}\nonumber \]

donde se\(\sigma_p\) puede llamar la incertidumbre en\(p\). Utilizando el Principio de Incertidumbre, mostrar que la energía debe ser al menos tan grande como\(\hbar/8ma^2\) porque\(\sigma_x\), la incertidumbre en\(x\), no puede ser mayor que\(a\).

2.33

Prove\(y(x, t) = A\cos[2π/λ(x - vt)]\) es una onda que viaja hacia la derecha con velocidad\(v\)\(λ\), longitud de onda y período\(λ/v\).