3: La ecuación de Schrödinger y una partícula en una caja
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La partícula en un modelo de caja (también conocida como pozo de potencial infinito o pozo cuadrado infinito) describe una partícula libre para moverse en un pequeño espacio rodeado de barreras impenetrables. El modelo se utiliza principalmente como ejemplo hipotético para ilustrar las diferencias entre los sistemas clásico y cuántico. En los sistemas clásicos, por ejemplo una bola atrapada dentro de una caja grande, la partícula puede moverse a cualquier velocidad dentro de la caja y no es más probable que se encuentre en una posición que en otra. Sin embargo, cuando el pozo se vuelve muy estrecho (en la escala de unos pocos nanómetros), los efectos cuánticos adquieren importancia. La partícula sólo puede ocupar ciertos niveles de energía positiva. El modelo de partículas en caja proporciona uno de los pocos problemas en la mecánica cuántica que se puede resolver analíticamente, sin aproximaciones. Esto significa que las propiedades observables de la partícula (como su energía y posición) están relacionadas con la masa de la partícula y el ancho del pozo por simples expresiones matemáticas. Debido a su simplicidad, el modelo permite conocer los efectos cuánticos sin necesidad de matemáticas complicadas. Es uno de los primeros problemas de mecánica cuántica que se imparte en los cursos de licenciatura en física, y se usa comúnmente como aproximación para sistemas cuánticos más complicados.
- 3.1: La ecuación de Schrödinger
- Erwin Schrödinger postuló una ecuación que predice tanto las energías permitidas de un sistema como aborda la dualidad onda-partícula de la materia. La ecuación de Schrödinger para las ondas de materia de Broglie no puede derivarse de algún otro principio ya que constituye una ley fundamental de la naturaleza. Su corrección sólo puede juzgarse por su posterior acuerdo con los fenómenos observados (prueba a posteriori).
- 3.2: Operadores Lineales en Mecánica Cuántica
- Un operador es una generalización del concepto de una función. Mientras que una función es una regla para convertir un número en otro, un operador es una regla para convertir una función en otra función.
- 3.3: La ecuación de Schrödinger es un problema de autovalor
- A cada variable dinámica de la mecánica cuántica le corresponde una ecuación de valor propio. Los valores propios representan los posibles valores medidos del operador.
- 3.4: Las funciones de onda tienen una interpretación probabilística
- la interpretación más comúnmente aceptada de la función de onda de que el cuadrado del módulo es proporcional a la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen) que el electrón está en el volumen\(d\tau\) localizado en\(r_i\). Dado que la función de onda representa las propiedades de onda de la materia, la amplitud\(P(x,t)\) de probabilidad también exhibirá un comportamiento de onda.
- 3.5: Se cuantifica la energía de una partícula en una caja
- El sistema de modelo de partículas en caja es la aplicación no trivial más simple de la ecuación de Schrödinger, pero que ilustra muchos de los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica.
- 3.6: Las funciones de onda deben normalizarse
- Para mantener la interpretación probabilística de la función de onda, la probabilidad de que una medida de x produzca un resultado entre -∞ y +∞ debe ser 1. Por lo tanto, las funciones de onda deben normalizarse (si es posible) para asegurar este requisito.
- 3.7: El Momentum Promedio de una Partícula en una Caja es Cero
- A partir de las expresiones matemáticas para las funciones de onda y energías para la partícula en una caja, podemos responder a una serie de preguntas interesantes. La clave para abordar estas preguntas es la formulación y uso de valores de expectativa. Esto se demuestra en el módulo y se utiliza en el contexto de la evaluación de propiedades promedio (energía, posición e impulso de la partícula en una caja).
- 3.8: El principio de incertidumbre - Estimación de incertidumbres a partir de las funciones de onda
- Los operadores x y p no son compatibles y no hay medición que pueda determinar con precisión tanto x como p simultáneamente. El principio de incertidumbre es consecuencia de la propiedad de onda de la materia. Una onda tiene cierta extensión finita en el espacio y generalmente no se localiza en un punto. En consecuencia, suele existir una incertidumbre significativa en la posición de una partícula cuántica en el espacio.
- 3.9: Una partícula en una caja tridimensional
- El problema de la partícula 1D en la caja se puede expandir para considerar una partícula dentro de una caja 3D para tres longitudes\(a\),\(b\), y\(c\). Cuando NO hay FUERZA (es decir, ningún potencial) actuando sobre las partículas dentro de la caja. Las propiedades de movimiento y, por lo tanto, de cuantificación de cada dimensión son independientes de las otras dimensiones. Este Módulo introduce el concepto de degeneración donde múltiples funciones de onda (diferentes números cuánticos) tienen la misma energía.
- 3.E: La ecuación de Schrödinger y una partícula en una caja (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar el Capítulo 3 de McQuarrie y Simon “Physical Chemistry: A Molecular Approach” Textmap.
Miniatura: La función de onda cuántica de una partícula en un pozo potencial infinito 2D de dimensiones\(L_x\) y\(L_y\). Los números de onda son\(n_x=2\) y\(n_y=2\). (Dominio público; carga inductiva).