3.4: Las funciones de onda tienen una interpretación probabilística
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- Entender que las funciones de onda pueden tener interpretaciones probabilísticas.
- Para calcular las probabilidades directamente a partir de una oleafunciones
Para un sistema de partículas únicas, la función de onda\(\Psi(\vec{r},t)\), o\(\psi(\vec{r})\) para el caso independiente del tiempo, representa la amplitud de las ondas de materia aún vagamente definidas. Dado que las funciones de onda en general pueden ser funciones complejas, el significado físico no se puede encontrar a partir de la función misma porque el no\(\sqrt {-1}\) es una propiedad del mundo físico. Más bien, la significación física se encuentra en el producto de la función ondulada y su complejo conjugado, es decir, el cuadrado absoluto de la función de onda, que también se llama el cuadrado del módulo (también llamado valor absoluto).
\[ \begin{align} P(\vec{r},t) &= \Psi^*(\vec{r},t) \Psi(\vec{r},t) \\[4pt] &= {|\Psi(\vec{r},t)|}^2 \label {3.4.1} \end{align} \]
donde\(\vec{r}\) es un vector\((x, y, z)\) que especifica un punto en el espacio tridimensional. Se utiliza el cuadrado, más que el módulo en sí, al igual que la intensidad de una onda de luz depende del cuadrado del campo eléctrico.
Nacida propuesta en 1926, la interpretación más comúnmente aceptada de la función de onda de que el cuadrado del módulo (Ecuación\(\ref{3.4.1}\)) es proporcional a la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen) de que el electrón está en el volumen\(d\tau\) localizado en \(r_i\). Dado que la función de onda representa las propiedades de onda de la materia, el comportamiento de\(P(x,t)\) will also exhibit onda de amplitud de probabilidad. La densidad de probabilidad es el análogo tridimensional del patrón de difracción que aparece en la pantalla bidimensional en el experimento de difracción de doble rendija para electrones. La idea de que podemos entender el mundo de los átomos y las moléculas solo en términos de probabilidades es inquietante para algunos, que buscan descripciones más satisfactorias a través de investigaciones en curso.
Por lo tanto, la interpretación Born llama a la función de onda la amplitud de probabilidad, el cuadrado absoluto de la función de onda se llama densidad de probabilidad, y la densidad de probabilidad por un elemento de volumen en el espacio tridimensional (\(d\tau\)) es la probabilidad\(P\)
La probabilidad de que una sola partícula cuántica se mueva en una dimensión espacial se encuentre en una región\(x\in[a,b]\) si se realiza una medición de su ubicación es
\[P(x\in[a,b])=\int_{a}^{b}|\psi (x)|^2 dx \label{3.4.2} \]
En tres dimensiones, la ecuación\(\ref{3.4.2}\) se representa de manera diferente
\[P(x \in[a,b])=\int_{V}|\psi (\vec{\tau})|^2 d\tau \label{3.4.3} \]
Esta integración se extiende sobre un volumen especificado (\(V\)) con el símbolo\(d\tau\) designando el elemento de volumen apropiado (incluyendo un jacobiano) del sistema de coordenadas adoptado:
- Cartesiano:\[d\tau = dx\,dy\,dz \nonumber \]
- Esférico:\[d\tau = r^2 \sin \phi \,dr\, dθ \,d \phi \nonumber \]
- Cilíndrico\[d\tau = r \,dr\, d \phi \,dz. \nonumber \]
Para el espacio cartesiano rectilíneo, la ecuación se\(\ref{3.4.3}\) puede expandir con la dimensión explícitamente indicada
\[P(x \in[a,b])=\int_{a_x}^{b_x} \int_{a_y}^{b_y} \int_{a_z}^{b_z}|\psi (x,y,z)|^2 dx\,dy\,dz \label{3.4.4} \]
donde se seleccionan los límites de integración para abarcar el volumen\(V\) de consideración.
La interpretación Born (Ecuación\ ref {3.4.1}) de relacionar la función de onda con la probabilidad obliga a ciertas demandas sobre su comportamiento matemático de las funciones de onda y ninguna función matemática puede ser una función de onda válida.
- La función de onda debe ser una función de valor único de todas sus coordenadas, ya que la densidad de probabilidad debe determinarse de manera única en cada punto del espacio.
- La función de onda debe ser finita ya que una probabilidad infinita no tiene sentido.
- La función de onda debe ser continua en todas partes, como se esperaba para una densidad de probabilidad físicamente significativa.
Las condiciones de que la función de onda sea de un solo valor, finita y continua —en definitiva, “bien comportada ”— conducen a restricciones en las soluciones de la ecuación de Schrödinger de tal manera que solo se permiten ciertos valores de la energía y otras variables dinámicas. Esto se llama cuantización y está en la característica que da nombre a la mecánica cuántica.
Es importante señalar que esta interpretación implica que la función de onda no significa que la partícula se distribuya sobre una gran región como una especie de “nube de carga”. La función de onda se utiliza para describir el movimiento electrónico que se comporta como ondas y satisface una ecuación de onda. Esto es similar a cómo una distribución de calificaciones en una clase grande no representa una mancha de calificaciones para un solo estudiante, sino que solo tiene sentido al tomar en cuenta que la distribución es el resultado de muchos mensurables (por ejemplo, el desempeño de los estudiantes).
Mostrar que el cuadrado del módulo de\(\Psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r}) e^{-iωt}\) es independiente del tiempo. ¿Qué perspicacia con respecto a los estados estacionarios obtiene de esta prueba?
Según la interpretación de Born, ¿cuál es el significado físico\(e\psi^*(r_0)(r_0)d\tau\)?
Colaboradores y Atribuciones
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski