3.6: Las funciones de onda deben normalizarse
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- Calcular la probabilidad de un evento a partir de la función de onda
- Comprender la utilidad e importancia de normalizar las funciones de onda
- Demostrar cómo normalizar una función de onda arbitraria
Extracción de probabilidades
Dado que las funciones de onda en general pueden ser funciones complejas, el significado físico de las funciones de onda no se puede encontrar a partir de las funciones mismas porque el no\(\sqrt {-1}\) es una propiedad del mundo físico. Más bien, la significación física se encuentra en el producto de la función ondulada y su complejo conjugado, es decir, el cuadrado absoluto de la función de onda, que también se llama el cuadrado del módulo.
\[ \Psi^*(r , t ) \Psi (r , t ) = {|\Psi (r , t)|}^2 \label {3.6.1} \]
donde\(r\) es un vector que especifica un punto en el espacio tridimensional. Se utiliza el cuadrado, más que el módulo en sí, al igual que la intensidad de una onda de luz depende del cuadrado del campo eléctrico. Recuerde que la interpretación de Born es que\(\psi^*(r_i)\psi(r_i)\, d\tau\) es la probabilidad de que el electrón esté en el volumen\(dτ\) localizado en\(r_i\). Por lo tanto, la interpretación Born llama a la función de onda la amplitud de probabilidad, el cuadrado absoluto de la función de onda se llama densidad de probabilidad, y la densidad de probabilidad por un elemento de volumen en el espacio tridimensional (\(d\tau\)) es la probabilidad.
Dado que la magnitud al cuadrado\(|\psi|^2\) de la función de onda de una partícula se puede interpretar como la densidad de probabilidad, entonces la probabilidad de una función de onda unidimensional entre los puntos\(x=a\) y se\(x=b\) puede calcular mediante
\[P_{1D}=\int\limits_{a}^{b}|\psi(x)|^{2} \mathrm{d} x \label{prob} \]
Esta es solo el área debajo de la\(|\psi|^2\) curva (Figura 3.6.1 ).
Si se está evaluando la probabilidad de una función de onda bidimensional, entonces la Ecuación\ ref {prob} se modificará para incluir una doble integral:
\[P_{2D}=\iint\limits_{a_1, a_2}^{b_1, b_2}|\psi(x,y)|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \nonumber \]
y de manera similar se utilizaría una triple integral para calcular las probabilidades de funcionamientos de onda tridimensionales:
\[P_{3D}=\iiint\limits_{a_1, a_2, a_3}^{b_1, b_2,b_3}|\psi(x,y,z)|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \nonumber \]
Calcular la probabilidad de encontrar un electrón\(L/2\) en una caja de altura infinita dentro de un intervalo que va de\(\dfrac {L}{2} - \dfrac {L}{200}\) a\(\dfrac {L}{2} + \dfrac {L}{200}\) para los\(n = 2\) estados\(n = 1\) y. Dado que la longitud del intervalo,\(L/100\), es pequeña en comparación con\(L\), se puede obtener una respuesta aproximada sin integrar explícitamente.
Solución
La función de onda para la partícula en una caja es
\[\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \nonumber \]
y la función de onda para el\(n=1\) estado es
\[\psi_{n=1}=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right) \nonumber \]
A partir de la interpretación de que el módulo de funciónondulada al cuadrado es la densidad de probabilidad, podemos establecer la siguiente integral para resolver el problema (nótese los límites de integración)
\[\left|\psi_{n=1}\right|^{2}=\frac{2}{L} \int_{\frac{99 L}{200}}^{\frac{101L}{200}} \sin ^{2}\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \label{Ex3} \]
Podemos resolver esto, pero también podemos reconocer que la Ecuación\ ref {Ex3} es simplemente calcular un área que puede aproximarse como el área de un rectángulo con una altura (\(\frac{2}{L} \sin ^{2}\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)at\(x=L/2\)) y anchura\(\Delta x = L/100\) (Figura 3.6.2 ).
Esta área se puede calcular:
\[ \begin{align*} \left|\psi_{n=1}\right|^{2} &\approx \frac{2}{L} \cancelto{1}{\sin ^{2}\left(\frac{\pi (L/2)}{L}\right)} \Delta x \\[4pt] & \approx \left(\frac{2}{L} \right) (L/100) \\[4pt] & \approx 1/50 = 0.02\end{align*} \nonumber \]
Dado que la función de onda es sinusoidal, la probabilidad real de encontrar un electrón dentro del intervalo dado at\(\frac{L}{2}\) debería ser ligeramente menor debido al comportamiento de la sinusoide at\(\frac{L}{2}\) está en su pico de la función de onda (Figura 3.6.2 ).
La función de onda para el\(n = 2\) estado
\[\psi_{n=2}=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{2 \pi x}{L}\right)\nonumber \]
así que la integral que necesitamos construir y resolver es
\[\left|\psi_{n=2}\right|^{2}=\frac{2}{L} \int_{\frac{99 L}{200}}^{\frac{101L}{200}} \sin ^{2}\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) dx \nonumber \]
Podemos usar la misma interpretación gráfica que la anterior, pero usando la densidad de probabilidad de la\(\psi_2\) función de onda (Figura 3.6.3 ).
\[ \begin{align*} \left|\psi_{n=1}\right|^{2} &\approx \frac{2}{L} \cancelto{0}{\sin ^{2}\left(\frac{ 2\pi (L/2)}{L}\right)} \Delta x \\[4pt] & \approx 0\end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de encontrar un electrón en una caja a\(\frac{L}{2}\) for\(n=2\) es aproximadamente cero.
Mostrar que el cuadrado del módulo de\(\Psi(r,t) = \psi(r) e^{-iωt}\) es independiente del tiempo. ¿Qué perspicacia con respecto a los estados estacionarios obtiene de esta prueba?
Solución
El cuadrado del módulo de una función de onda es\(\Psi(r,t)^*\Psi(r,t)\) así para las funciones de onda de esta forma, el cuadrado del módulo es
\[ \begin{align*} \Psi(r,t)^*\Psi(r,t) &= \psi(r) \cancel{e^{+iωt}} \psi(r) \cancel{e^{-iωt}} \\[4pt] &=\psi(r)^2 \end{align*} \nonumber \]
De ahí que no exista dependencia del tiempo con respecto al módulo de funciones de onda de este trabajo, lo que a partir de la interpretación de probabilidad de la función de onda significa que la densidad de probabilidad es independiente del tiempo.
Normalización de la función Onda
Una probabilidad es un número real entre 0 y 1, inclusive. Un resultado de una medición que tiene una probabilidad 0 es un resultado imposible, mientras que un resultado que tiene una probabilidad 1 es un resultado determinado. Según la ecuación\(\ref{3.6.1}\), la probabilidad de una medición de\(x\) producir un resultado entre\(-\infty\) y\(+\infty\) es
\[P_{x \in -\infty:\infty}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\vert\psi(x,t)\vert^{ 2} dx. \label{3.6.2} \]
Sin embargo, una medición de\(x\) debe producir un valor entre\(-\infty\) y\(+\infty\), ya que la partícula tiene que ubicarse en alguna parte. De ello se deduce que\(P_{x \in -\infty:\infty}(t) =1\), o
\[\int_{-\infty}^{\infty}\vert\psi(x,t)\vert^{ 2} dx = 1, \label{3.6.3} \]
que generalmente se conoce como la condición de normalización para la función de onda.
Normalizar la función de onda de un paquete de ondas gaussianas, centrado en\(x=x_o\) con ancho característico\(\sigma\):
\[\psi(x) = \psi_0 {\rm e}^{-(x-x_0)^{ 2}/(4 \sigma^2)}.\label{3.6.4} \]
Solución
Para determinar la constante de normalización\(\psi_0\), simplemente sustituimos Ecuación\(\ref{3.6.4}\) por Ecuación\(\ref{3.6.3}\), para obtener
\[\vert\psi_0\vert^{ 2}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-(x-x_0)^{ 2}/(2 \sigma^2)} dx = 1. \nonumber \]
Cambiando la variable de integración a\(y=(x-x_0)/(\sqrt{2} \sigma)\), obtenemos
\[\vert\psi_0\vert^{ 2}\sqrt{2} \sigma \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^2} dy=1. \nonumber \]
Sin embargo, de una mesa integral sabemos
\[\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^2} dy = \sqrt{\pi},\nonumber \]
lo que implica que
\[\vert\psi_0\vert^{ 2} = \dfrac{1}{(2\pi \sigma^2)^{1/2}}. \nonumber \]
Por lo tanto, una función de onda gaussiana normalizada general toma la forma
\[\psi(x) = \dfrac{e^{\rm{i} \phi}}{(2\pi \sigma^2)^{1/4}}e^{-(x-x_0)^2/(4 \sigma^2)} \nonumber \]
donde\(\phi\) es un ángulo de fase real arbitrario.
Normalizar esta función de onda para una partícula en un pozo armónico:
\[\psi = x e^{-x^2} \nonumber \]
- Contestar
-
\[\psi = 2 \left(\dfrac{2}{\pi} \right)^{1/4} x e^{-x^2} \nonumber \]
Dependencia del tiempo a la función de onda
Ahora bien, es importante demostrar que si una función de onda se normaliza inicialmente, entonces se mantiene normalizada a medida que evoluciona en el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Si no es así entonces la interpretación probabilística de la función ondulada es insostenible, ya que no tiene sentido que la probabilidad de que una medición de\(x\) arroje algún resultado posible (que es, manifiestamente, la unidad) para cambiar en el tiempo. Por lo tanto, requerimos que
\[\dfrac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty}\vert \psi(x,t)\vert^{ 2} dx = 0 \nonumber \]
para las funciones de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (esto resulta de la ecuación y ecuación de Schrödinger dependientes del tiempo\(\ref{3.6.3}\)). La ecuación anterior da
\[\dfrac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty}\psi^* \psi \, dx=\int_{-\infty}^{\infty} \left(\dfrac{\partial\psi^*}{\partial t} \psi+\psi^* \dfrac{\partial\psi}{\partial t}\right) dx=0. \label{3.6.11} \]
Ahora, multiplicando la ecuación de Schrödinger por\(\psi^{*}/({\rm i} \hbar)\), obtenemos
\[\psi^* \dfrac{\partial\psi}{\partial t}= \dfrac{\rm{i}}{2m} \psi^* \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \dfrac{\rm{i}}{\hbar} V \vert \psi \vert^2 \label{3.6.12} \]
El complejo conjugado de esta expresión produce
\[\psi \dfrac{\partial\psi^*}{\partial t}= -\dfrac{\rm{i}}{2m} \psi \dfrac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} + \dfrac{\rm{i}}{\hbar} V \vert \psi \vert^2 \label{3.6.13} \]
desde
- \((A B)^* = A^* B^*\),
- \(A^{* *}=A\), y
- \(i^*= -i\).
La ecuación sumadora\ ref {3.6.12} y\ ref {3.6.13} da como resultado
\[\begin{align} \dfrac{\partial\psi^*}{\partial t} \psi + \psi^{*} \dfrac{\partial\psi}{\partial t} &= \dfrac{\rm{i}}{2m} \left(\psi^* \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\right) \\[4pt] &=\dfrac{\rm{i}}{2m} \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\psi^* \dfrac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \dfrac{\partial\psi^*}{\partial x}\right). \label{3.6.14} \end{align} \]
Ecuaciones\(\ref{3.6.11}\) y se\(\ref{3.6.14}\) pueden combinar para producir
\[\dfrac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} \vert\psi\vert^2 dx= \dfrac{\rm{i}}{2m} \left[\psi^*\dfrac{\partial\psi}{\partial x}- \psi\dfrac{\partial\psi^*}{\partial x} \right]_{-\infty}^{\infty} = 0. \label{3.6.15} \]
La ecuación anterior se satisface siempre que la función de onda converja
\[\lim_{\vert x\vert\rightarrow\infty} \vert\psi\vert = 0 \label{3.6.16} \]
Sin embargo, esta es una condición necesaria para que la integral en el lado izquierdo de la ecuación\(\ref{3.6.3}\) converja. Por lo tanto, concluimos que todas las funciones de onda que son integrables al cuadrado [es decir, son tales que la integral en la Ecuación\ ref {3.6.3} converge] tienen la propiedad de que si la condición de normalización Ecuación\(\ref{3.6.3}\) se satisface en un instante en el tiempo entonces se satisface en todos los momentos posteriores.
No todas las funciones de onda pueden normalizarse de acuerdo con el esquema establecido en la Ecuación\(\ref{3.6.3}\). Por ejemplo, una función de onda de onda plana para una partícula libre cuántica
\[\Psi(x,t) = \psi_0 {\rm e}^{ {\rm i} (k x-\omega t)} \nonumber \]
no es integrable al cuadrado y, por lo tanto, no puede normalizarse. Para tales funciones de onda, lo mejor que podemos decir es que
\[P_{x \in a:b}(t) \propto \int_{a}^{b}\vert\Psi(x,t)\vert^{ 2} dx.\nonumber \]
A continuación, se supone que todas las funciones de onda son integrables al cuadrado y normalizadas, a menos que se indique lo contrario.
Colaboradores y Atribuciones
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski
Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)