3.8: El principio de incertidumbre - Estimación de incertidumbres a partir de las funciones de onda

Objetivos de aprendizaje

• Ampliar la introducción del Principio de Incertidumbre de Heisenberg calculando el\(\Delta x\) o\(\Delta p\) directamente a partir de la función de onda

Como se discutirá en la Sección 4.6, los operadores\(\hat{x}\) y no\(\hat{p}\) son compatibles y no hay ninguna medición que pueda determinar con precisión los observables correspondientes (\(x\)y\(p\)) simultáneamente. De ahí que debe haber una relación de incertidumbre entre ellos que especifique cuán inciertos somos acerca de una cantidad dada una precisión definida en la medición de la otra. Presumiblemente, si uno se puede determinar con infinita precisión, entonces habrá una incertidumbre infinita en el otro. La incertidumbre en una cantidad general\(A\) es

\[\Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2} \label{3.8.1} \]

donde\(\langle A^2 \rangle\) y\(\langle A \rangle\) son los valores de expectativa\(\hat{A^2}\) y\(\hat{A}\) operadores para una función de onda específica. Extendiendo la ecuación\ ref {3.8.1}\(x\) y\(p\) da como resultado las siguientes incertidumbres

\[ \Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2} \label{3.8.2a} \]

\[ \Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle ^2} \label{3.8.2b} \]

Estas cantidades pueden expresarse explícitamente en términos de la función de onda (dependiente del tiempo)\(\Psi (x, t)\) utilizando el hecho de que

\[ \begin{align} \langle x \rangle &= \langle \Psi(t)\vert \hat{x}\vert\Psi(t)\rangle \label{3.8.3} \\[4pt] &=\int \Psi^{*}(x,t) x \Psi(x,t)\;dx \end{align} \]

y

\[ \begin{align} \langle x^2 \rangle &= \langle \Psi(t)\vert \hat{x}^2 \vert\Psi(t)\rangle \label{3.8.4} \\[4pt] &= \int \Psi^{*}(x,t) x^2 \Psi(x,t)\;dx \end{align} \]

Los términos medios en ambas Ecuaciones\(\ref{3.8.3}\) y\(\ref{3.8.4}\) son las integrales expresadas en la notación Bra-ket de Dirac. Del mismo modo usando la definición del operador de momento lineal:

\[\hat{p}_x = - i \hbar \dfrac{\partial}{ \partial x}. \nonumber \]

Entonces

\[ \begin{align} \langle p \rangle &= \langle \Psi(t)\vert \hat{p} \vert\Psi(t)\rangle \label{3.8.5} \\&= \int \Psi^{*}(x,t) - i \hbar {\partial \over \partial x}\Psi(x,t)\,dx \end{align} \]

y

\[ \begin{align} \langle p^2 \rangle &= \langle \Psi(t)\vert \hat{p}^2\vert\Psi(t)\rangle \label{3.8.6} \\ &= \int \Psi ^{*} (x, t)\left(-\hbar^2{\partial^2 \over \partial x^2}\right)\Psi(x,t) \;dx \end{align} \]

Función de onda dependiente del tiempo vs. independiente del tiempo

Los valores de expectativa anteriores se formulan con la función de onda de dependencia del tiempo total\(\psi(x,t)\) que son funciones de\(x\) y\(t\). Sin embargo, es fácil demostrar que se obtendría el mismo valor de expectativa si se usa la función de onda independiente del tiempo\(\psi(x)\) que\(x\) son funciones de solo. Si\(V(x)\) in\(\hat{H}\) es independiente del tiempo, entonces las funciones de onda son estacionarias y el valor de expectativa son independientes del tiempo. Puede confirmarlo fácilmente comparando los valores de expectativa usando la fórmula general para una función de onda estacionaria

\[\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt / \hbar} \nonumber \]

y para\(\psi(x)\).

El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede conectar cuantitativamente a las propiedades de una función de onda, es decir, calculado a través de los valores de expectativa descritos anteriormente:

\[\Delta p \Delta x \ge \dfrac {\hbar}{2} \label {3.8.8} \]

Esto esencialmente establece que a mayor certeza de que se\(p\) pueda hacer una medición de\(x\) o, mayor será la incertidumbre en el otro. De ahí que a medida que se\(Δp\) aproxime a 0\(\infty\), se\(Δx\) debe aproximar, que es el caso de la partícula libre (por ejemplo, con\(V(x)=0\)) donde se puede determinar con precisión el momento de una partícula.

Ejemplo 3.8.1 : Incertidumbre con una función de onda gaussiana

Una partícula está en un estado descrito por la función de onda

\[\psi{(x)} =\left(\dfrac{2a}{π}\right)^{\frac{1}{4}} e^{−ax^2} \label{Ex1eq1} \]

donde\(a\) es una constante y\(−∞≤ x ≤ ∞\). Verificar que el valor del producto\(∆p∆x\) sea consistente con las predicciones del principio de incertidumbre (Ecuación\ ref {3.8.8}).

Solución

Calculemos el promedio de\(x\):

\[ \begin{align} \langle x\rangle &= \int ^\infty_{-\infty} \psi^{*}x \psi \,dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty}(2a/π)^\frac{1}{4} e^{−ax^2} x (2a/π)^\frac{1}{4} e^{−ax^2} \,dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty}x(2a/π)^\frac{1}{2} e^{−2ax^2}\,dx \nonumber \\ &= 0\nonumber \end{align} \nonumber \]

ya que el integrando es una función impar (una función par multiplicada por una función impar es una función impar). Esto tiene sentido dado que la función de onda gaussiana es simétrica alrededor\(x=0\).

Calculemos el promedio de\(x^2\):

\[ \begin{align} \langle x^2\rangle &= \int ^\infty_{-\infty} \psi^{*}{x^2}\psi \,dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty}(2a/π)^\frac{1}{4} e^{−ax^2} (x^2) (2a/π)^\frac{1}{4} e^{−ax^2} \, dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty}x^2(2a/π)^\frac{1}{2} e^{−2ax^2} \, dx \nonumber \\ & =\frac{1}{4a} \nonumber \end{align} \nonumber \]

Calculemos el promedio en\(p\):

\[ \begin{align} \langle p\rangle &= \int ^\infty_{-\infty} \psi^{*} p \psi \,dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty} \left(\dfrac{2a}{π}\right)^{\frac{1}{4}} e^{−ax^2} -i\hbar \frac{d}{dx} \left(\dfrac{2a}{π}\right)^{\frac{1}{4}} e^{−ax^2} \,dx \nonumber \\ &= \int ^\infty_{-\infty} \left(\dfrac{2a}{π}\right)^{\frac{1}{4}} e^{−ax^2} (- i \hbar ) \left(\dfrac{2a}{π}\right)^{\frac{1}{4}} e^{−ax^2} (-2ax)\,dx \nonumber \\ &=0 \nonumber \end{align} \nonumber \]

ya que el integrando es una función impar.

Calculemos el promedio de\(p^2\):

\[ \begin{align} \langle p^2\rangle &= \int ^\infty_{-\infty} \psi^{*}{p^2} \psi dx \nonumber \\ &= -\hbar^2 \left(\dfrac{2a}{\pi}\right) ^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} 2a(a x^2 - 1) e^{- 2a x^2} dx \nonumber \\ &= -4\hbar^2 a^2 \left(\dfrac{2a}{\pi}\right) ^{1/2} \int_{0}^{\infty} x^2 e^{- 2a x^2} dx + 4\hbar^2 a \left(\dfrac{2a}{\pi}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} e^{- 2a x^2} dx \nonumber \\ &= a\hbar^2 \nonumber \end{align} \nonumber \]

Usamos la ecuación\ ref {3.8.1} para verificar la incertidumbre

\[ \begin{align*} \Delta{x^2} &= \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 = \dfrac{1}{4a} - 0 \\[4pt] \Delta{x} &= \sqrt{\Delta{x^2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\\[4pt] \Delta{p^2} &= \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 = a\hbar^2 - 0 \\[4pt] \Delta{p} &= \sqrt{\Delta{p^2}} = \hbar \sqrt{a} \end{align*} \nonumber \]

Finalmente tenemos

\[\Delta{p}\Delta{x} = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right) (\hbar \sqrt{a}) = \dfrac{\hbar}{2} \nonumber \]

No sólo se mantiene el principio de incertidumbre de Heisenburg (Ecuación\ ref {3.8.8}), sino que se establece la igualdad para esta función de onda. Esto se debe a que la función de onda gaussiana (Ecuación\ ref {ex1eQ1}) es especial como se discutirá más adelante.

Ejercicio 3.8.1

Una partícula está en un estado descrito por la función de onda del estado fundamental de una partícula en una caja

\[\psi = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left(\dfrac{\pi x}{L}\right) \nonumber \]

donde\(L\) esta la longitud de la caja y\(0≤ x ≤ L\). Verificar que el valor del producto\(∆p∆x\) sea consistente con las predicciones del principio de incertidumbre (Ecuación\ ref {3.8.8}).

El principio de incertidumbre es consecuencia de la propiedad de onda de la materia. Una onda tiene cierta extensión finita en el espacio y generalmente no se localiza en un punto. En consecuencia, suele existir una incertidumbre significativa en la posición de una partícula cuántica en el espacio.

Colaboradores y Atribuciones

• Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski

• Mark Tuckerman (New York University)