4.4: La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
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- Reconocer las diferencias entre las ecuaciones de Schrödinger dependientes del tiempo y las independientes del tiempo
- Distinguir entre funciones de onda estacionarias y no estacionarias
Hay dos “sabores” de ecuaciones de Schrödinger: las versiones dependientes del tiempo y las independientes del tiempo. Mientras que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo predice que las funciones de onda pueden formar ondas estacionarias (llamadas estados estacionarios), que si se clasifican y entienden, entonces se vuelve más fácil resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cualquier estado. Los estados estacionarios también pueden describirse mediante la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (utilizada solo cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo). Sin embargo, cabe señalar que las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo aún tienen dependencias de tiempo.
Funciones de onda dependientes del tiempo
Recordemos que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
\[\hat{H}\psi (x)=E\psi (x) \label{4.4.1} \]
produce las energías permitidas y las correspondientes funciones de onda. Sin embargo, no nos dice cómo evoluciona el sistema en el tiempo. Parecería que falta algo, ya que, después de todo, la mecánica clásica nos dice cómo evolucionan en el tiempo las posiciones y velocidades de un sistema clásico. La dependencia del tiempo se da al resolver la segunda ley de Newton
\[m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=F(x) \label{4.4.2} \]
Pero, ¿dónde está\(t\) en la mecánica cuántica? En primer lugar, ¿qué es lo que debe evolucionar en el tiempo? La respuesta es que la función de onda (y la densidad de probabilidad asociada) deben evolucionar. Supongamos, por lo tanto, que preparamos un sistema de\(t=0\) acuerdo con una densidad de probabilidad particular\(p(x,0)\) relacionada con una amplitud\(\Psi (x,0)\) por
\[p(x,0) =|\Psi (x,0)|^2 \label{4.4.3} \]
¿Cómo se verá esta amplitud\(\Psi (x,0)\) inicial en el tiempo\(t\) posterior? Tenga en cuenta, por cierto, que\(\Psi (x,0)\) no necesariamente tiene que ser uno de los autoestados\(\psi_n (x)\). Para abordar esto, nos referimos a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que nos dice cómo\(\Psi (x,t)\) evolucionará a partir de la condición inicial\(\Psi (x,0)\):
\[\hat{H}\Psi (x,t)=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi (x,t) \label{4.4.4} \]
Es importante saber cómo funciona físicamente y cuándo es suficiente trabajar con la versión independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger (Ecuación\ ref {4.4.1}).
La dependencia del tiempo de las funciones de onda se rige por la Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo (Ecuación\(\ref{4.4.4}\)).
Estados estacionarios
Supongamos que tenemos la suerte de elegir
\[\Psi (x,0) =\psi_n (x) \nonumber \]
con densidad de probabilidad correspondiente
\[ p(x,0) =|\psi_n (x)|^2 \label{4.4.5} \]
Demostraremos que
\[\Psi (x,t) =\psi_n (x)e^{-iE_n t/\hbar} \label{4.4.5A} \]
De la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
\[\begin{align*}\dfrac{d\Psi}{dt} &= \psi_n (x) \left ( \dfrac{-iE_n}{\hbar} \right ) e^{-iE_n t/\hbar} \\[4pt] i\hbar \dfrac{d\Psi }{dt} &= E_n \psi_n (x) e^{-iE_n t/\hbar} \end{align*} \label{4.4.6} \]
Del mismo modo
\[\begin{align*} \hat{H}\Psi (x,t) &=e^{-iE_n t/\hbar}\hat{H}\psi_n (x) \\[4pt] &=e^{-iE_n t/\hbar}E_n \psi_n (x) \label{4.4.7} \end{align*} \]
De ahí la ecuación de Schrödinger\(\psi_n (x) exp(-iE_n t/\hbar)\) satisfies the dependiente del tiempo (ecuación\(\ref{4.4.4}\)).
Considere la densidad de probabilidad para esta función de onda:\(p(x,t)=|\Psi (x,t)|^2\)
\[\begin{align*}p(x,t) &= \left [ \psi_n (x) e^{iE_n t/\hbar} \right ] \left [ \psi_n (x)e^{-iE_n t/\hbar} \right ] \\[4pt] &= \psi_{n}^{2}(x)e^{iE_n t/\hbar}e^{-iE_n t/\hbar}\\[4pt] &= |\psi_n (x)|^2 =p(x,0)\end{align*} \label{4.4.8} \]
la probabilidad no cambia en el tiempo y por esta razón,\(\psi_n (x)\) se denomina estado estacionario. En tal estado, la energía permanece fija en el valor bien definido\(E_n\).
Estados no estacionarios
Supongamos, sin embargo, que habíamos elegido\(\Psi (x,0)\) ser alguna combinación lineal arbitraria de los dos estados de energía más bajos:
\[\Psi (x,0) =a\psi_1 (x)+b\psi_2 (x) \label{4.4.9} \]
por ejemplo
\[\Psi (x,0) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1 (x)+\psi_2 (x)] \label{4.4.10} \]
como en el ejemplo anterior. Luego, la densidad de probabilidad en el momento\(t\)
\[p(x,t) = |\Psi (x,t)|^2 \neq p(x,0) \label{4.4.11} \]
Para que tal mezcla sea posible, debe haber suficiente energía en el sistema para que exista alguna probabilidad de medir la partícula para que esté en su estado excitado.
Por último, supongamos que empezamos con un estado
\[\Psi (x,0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} [\psi_1 (x) + \psi_2 (x)] \nonumber \]
y dejamos que este estado evolucione en el tiempo. En cualquier momento, el estado\(\Psi (x,t)\) será alguna mezcla de\(\psi_1 (x)\) y\(\psi_2 (x)\), y esta mezcla cambia con el tiempo. Ahora, en alguna instancia específica en el tiempo\(t\), medimos la energía y obtenemos un valor\(E_1\). ¿Cuál es el estado del sistema justo después de que se realiza la medición? Una vez que hacemos la medición, entonces sabemos con 100% de certeza que la energía es\(E_1\). De la discusión anterior, sólo hay una posibilidad para el estado del sistema, y esa tiene que ser la función ondulada\(\psi_1 (x)\), ya que en este estado sabemos con 100% de certeza que la energía es\(E_1\). De ahí que justo después de la medición, el estado debe ser\(\psi_1 (x)\), lo que significa que debido a la medición, cualquier dependencia adicional de las\(\psi_2 (x)\) caídas, y para siempre a partir de entonces, no hay dependencia de\(\psi_2 (x)\). En consecuencia, cualquier medición posterior de la energía produciría el valor\(E_1\) con 100% de certeza. Este cambio discontinuo en el estado cuántico del sistema como resultado de la medición se conoce como el colapso de la función de onda. La idea de que la evolución de un sistema puede cambiar como resultado de una medición es uno de los temas que actualmente se debate entre los teóricos cuánticos.
El hecho de que medir un sistema cuántico cambie su evolución temporal significa que el experimentador ahora está acoplado al sistema cuántico. Este efecto observador significa que el acto de observar influirá en el fenómeno que se esté observando. En la mecánica clásica, este acoplamiento no existe. Un sistema clásico evolucionará según las leyes del movimiento de Newton independientemente de que lo observemos o no. Esto no es cierto para los sistemas cuánticos. El acto mismo de observar el sistema cambia la forma en que evoluciona en el tiempo.
Dicho de otra manera, simplemente observando un sistema, ¡lo cambiamos!