4.E: Postulados y Principios de la Mecánica Cuántica (Ejercicios)

Las soluciones para seleccionar preguntas se pueden encontrar en línea.

4.3

El functi on\(ψ^*ψ\) tiene que ser real, no negativo, finito y de valor definido en todas partes. ¿Por qué?

Solución

Si seguimos la interpretación Born de las ondas, entonces\(ψ^*ψ\) es una densidad de probabilidad y por lo tanto debe seguir propiedades de probabilidad estándar incluyendo ser no negativo, finito y de un valor definido en cualquier punto relevante en el espacio de la función de onda. Además, el integ ral de\(ψ^*ψ\) o ver todo este espacio debe ser igual a 1.

4.5

¿Por qué las siguientes funciones no son aceptables las funciones de onda para una partícula 1D en una caja con longitud?\(a\) ? \(N\) is a normalization constant.

1. \({\psi}=N{\cos \dfrac{n{\pi}x}{L}\ }\)
2. \({\psi}=\dfrac{N}{\sin \dfrac{n{\pi}x}{a}\ }\)
3. \({\psi}=N{\tan \dfrac{{\pi}x}{a}\ }\)

Solución

Las condiciones límite que deben cumplirse son\({\psi}\left(0\right)={\psi}\left(a\right)=0\). This does not meet them. La función de onda propuesta sopla hasta el infinito en\(x=0\) and \(x=a\) Tan no está definida para\(x=\dfrac{a}{2}\)

4.12

Mostrar que los conjuntos de funciones:\(\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\) donde\(n\) = 1,2,3... es ortonormal.

Solución

Let

\(\psi =\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)\)

Porque\(\psi^* = \psi\) y es real, entonces

\[\int_0^L \psi^*\psi dx = \int_0^L \sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)dx\nonumber \]

Dejar\(n=m\)

\[ \begin{align*} \int_0^L \psi^*\psi dx &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)dx \\[4pt] &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin^2 \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)dx\end{align*}\]

\[\dfrac{2}{L}\int_0^L \sin^2 \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)dx = 1\nonumber \]

Dejar\(n \neq m\)

\[ \begin{align*} \int_0^L \psi^*\psi dx &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \sin\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)dx \\[4pt] &=\dfrac{2}{L}\dfrac{1}{2} \int_0^L\left[ \cos \left(\dfrac{(n-m)\pi x}{L} \right) - \cos\left(\dfrac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]dx \\[4pt] &= \dfrac{1}{L} \left[\dfrac{L}{(n-m)\pi} \left[\sin\left(\dfrac{(n-m)\pi L}{L}\right)-\sin\left(\dfrac{(n-m)\pi 0}{L}\right)\right]-\dfrac{L}{(n+m)\pi} \left[\sin\left(\dfrac{(n+m)\pi L}{L}\right)-\sin\left(\dfrac{(n+m)\pi 0}{L}\right)\right]\right] =0 \end{align*}\]

y así\(\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\) (n=1, 2, 3,...) son ortonormales.

4.13

Demostrar que\(a\cdot b\cdot c = \sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\)

\[\sum_{i}a_ie_i\cdot\sum_{j}b_je_j\cdot\sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[\sum_{i}\sum_{j}a_ib_j(e_i\cdot e_j)\cdot\sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[e_i \cdot e_j=\delta_{ij}=1\nonumber \]

cuando\(i=j\)

\[\sum_{i}a_ib_i\cdot \sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[\sum_{ik}a_ib_ic_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

4.14

Determinar si los siguientes operadores conmutan

\[\hat{B} = \dfrac{d}{dx}\nonumber \]

y

\[\hat{C} = x^5\nonumber \]

Solución

Debemos resolver\(\left[\hat{B},\hat{C}\right]\), resolviendo por\(\hat{B} \{\hat{C} f(x)\} \) y\(\hat{C} \{\hat{B} f(x)\}\) para una función de onda\(f(x)\) y ver si son iguales.

\[\hat{B} \{\hat{C} f(x)\} = \hat{B}\{ x^5 f(x) \}= \dfrac{d}{dx} \{ x^5 f(x)\} = 5xf(x) + x^5 f'(x)\nonumber \]

\[\hat{C} \{\hat{B}f(x)\} = \hat{C}\{f'(x)\} = x^5 f'(x)\nonumber \]

desde

\[\left[\hat{B},\hat{C}\right] = 5x f(x) + x^5 f'(x) - x^2f'(x) = 5x f(x) \not= 0\nonumber \]

Los dos operadores no se desplazan.

4.15

¿Se desplazan las siguientes combinaciones de operadores de momento angular? Mostrar trabajo para justificar la respuesta (no se limite a escribir “sí” o no”).

1. \(\textbf{L}_x\)y\(\textbf{L}_y \)
2. \(\textbf{L}_y\)y\(\textbf{L}_z \)
3. \(\textbf{L}_z\)y\(\textbf{L}_x \)

con

\[\textbf{L}_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \nonumber \]

\[ \textbf{L}_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \nonumber \]

\[ \textbf{L}_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \nonumber \]

Estimar la respuesta a la Parte C con base en el patrón obtenido de las partes A y B; no es necesario realizar trabajos para la Parte C.

Solución

a.

\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = (y p_z - z p_y)(z p_x - x p_z)\Psi - (z p_x - x p_z)(y p_z - z p_y)\Psi ,\nonumber \]

\[= (z p_x y p_z - z^{2} p_x p_y - x y p_z p_z - x z p_y p_z)\Psi - (y p_z z p_x - y x p_z p_z + z ^{2} p_y p_x + z x p_z p_y)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = i\hbar \textbf{L}_z ,\nonumber \]

No conmuta, es decir, no es cero.

[L x, L y ] = i L z, [ L x, L y] = i L z, [ L x, L y] = i L z, [L x, L y] = i L z,

b.

\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = (z p_x - x p_z)(x p_y - y p_x)\Psi - (x p_y - y p_x)(z p_x - x p_z)\Psi\nonumber \]

\[= (x p_y z p_x - x^{2} p_y p_z - y z p_x p_x - y x p_z p_x)\Psi - (z p_x x p_y - z y p_x p_x + x ^{2} p_z p_y + x y p_x p_z)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = i\hbar \textbf{L}_x ,\nonumber \]

No conmuta, es decir, no es cero.

c. Esta parte sólo requiere que notemos la rotación de variables y la consistencia del formato/ecuaciones. Al hacerlo, entendemos mejor la relación entre las partes del operador de momento angular. El trabajo a continuación no necesita mostrarse para crédito, pero puede aclarar cosas o aclarar la solución si aún tiene problemas para evaluar y usar el patrón.

\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = (x p_y - y p_x)(y p_z - z p_y)\Psi - (y p_z - z p_y)(x p_y - y p_x)\Psi\nonumber \]

\[= (y p_z x p_y - y^{2} p_z p_x - z x p_y p_y - z y p_x p_y)\Psi - (x p_y y p_z - x z p_y p_y + y^{2} p_x p_z + y z p_y p_x)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = i\hbar \textbf{L}_y , \nonumber \]

No conmuta, es decir, no es cero.

Estos cálculos muestran que solo se puede tener un componente bien definido del momento angular debido al principio de incertidumbre dice que los demás no serán conocidos (ya que no se desplazan).

4.17

Para que dos operadores se desplacen, ¿qué propiedad debe poseer? Utilice los operadores\( \hat{L^2} \) y\( \hat{L_z} \) como ejemplo para mostrar que esta propiedad posee.

Solución

Los viajeros cuando se aplican a una función de onda deben ser iguales a la función propia 0.

\( \hat{L^2}\hat{L_z}\psi(x) - \hat{L_z}\hat{L^2}\psi(x) = 0 \)

\( \hat{L^2}\hat{L_z} - \hat{L_z}\hat{L^2}\psi(x)= \hat{0}\psi(x) \)

\( \hat{L^2}\hat{L_z} - \hat{L_z}\hat{L^2}= 0 \)

4.21

Demostrar que el momento angular y los operadores de energía cinética viajan y, por lo tanto, se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria.

Solución

Demostrar que

\[ [ \hat{K} , \hat{L}] \ = \ 0\nonumber \]

donde los operadores se pueden separar en 3 componentes

\[L_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \nonumber \]

\[ L_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \nonumber \]

\[ L_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \nonumber \]

y\(\hat{K_x} \ = \ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \). Lo mismo se puede escribir\(\hat{K}\) en las direcciones y y z.

\[ [ \hat{K} , \hat{L} ] = [\hat{K_x},\hat{L_x}] + [\hat{K_y},\hat{L_y}] + [\hat{K_z},\hat{L_z}] \nonumber \]

Para la dirección x

\[ [\hat{K_x} , \hat{L_x}] = \left[ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}, -i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) \right] \nonumber \]

\[ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} \Big(-i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) - -i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}\nonumber \]

\[ \dfrac{i\hbar^3}{2m} \Big( y\dfrac{d^3}{dx^2 dz} - z\dfrac{d^3}{dx^2 dy} \Big) - \dfrac{i\hbar^3}{2m} \Big( y\dfrac{d^3}{dx^2 dz} - z\dfrac{d^3}{dx^2 dy} \Big) \ = \ 0\nonumber \]

El proceso se puede repetir para las direcciones y y z y siguiendo los mismos pasos las conmutaciones resultan ser 0. Por lo tanto, la energía cinética y el momento angular conmutan.

4.22

Demostrar que el operador de posición y momento angular conmuta. ¿Se pueden medir simultáneamente la posición y el momento angular con una precisión arbitraria?

Solución

Primero, debemos demostrar que el operador de posición\(\mathbf{\hat{R}} = \mathbf{i}\hat{x} + \mathbf{j}\hat{y} + \mathbf{k}\hat{z}\), y el operador de momento angular\(\mathbf{\hat{L}} = \mathbf{i}\hat{L_x} + \mathbf{j}\hat{L_y} + \mathbf{k}\hat{L_z}\), viajan.

Para acreditar la conmutación,

\[[\mathbf{\hat{R}},\mathbf{\hat{L}}] = [\mathbf{i}\hat{x} + \mathbf{j}\hat{y} + \mathbf{k}\hat{z},\mathbf{i}\hat{L_x} + \mathbf{j}\hat{L_y} + \mathbf{k}\hat{L_z}]\nonumber \]

\[ = \ [\hat{x},\hat{L_x}] \ + \ [\hat{y},\hat{L_y}] \ + \ [\hat{z},\hat{L_z}]\nonumber \]

\[ \ = \ 0\nonumber \]

donde hemos utilizado el hecho de que

\[\mathbf{i}\centerdot\mathbf{i} = \mathbf{j}\centerdot\mathbf{j} = \mathbf{k}\centerdot\mathbf{k} = 1\nonumber \]

y

\[\mathbf{i}\centerdot\mathbf{j} = \mathbf{j}\centerdot\mathbf{k} = \mathbf{k}\centerdot\mathbf{i} = 0\nonumber \]

Ahora que hemos demostrado que los dos operadores conmutan, la relación de conmutación significa que la posición y el momento angular total de cualquier electrón se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria.

4.25

Si ambos\(|Ψ_n \rangle\) y\(|Ψ_m \rangle\) satisfacen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (estos se llaman estados estacionarios)

\[|Ψ_n(x,t) \rangle = Ψ_n(x)e^{-iE_nt/ \hbar}\nonumber \]

y

\[ | Ψ_m(x,t) \rangle = Ψ_m(x)e^{-iE_mt/ \hbar}\nonumber \]

muestran que cualquier superposición lineal de las dos funciones de onda

\[|Ψ(x,t) \rangle = c_n | Ψ_n(x,t) \rangle + c_m |Ψ_m(x,t) \rangle \nonumber \]

también satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Solución

La ecuación de Schr ö dinger dependiente del tiempo es

\[\hat{H}Ψ(x,t) =iћ ∂Ψ(x,y)/∂t\nonumber \]

Enchufe ψ (x, t) en la ecuación dependiente del tiempo.

\[\hat{H}c_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ} = iћ ∂/∂tc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ} \nonumber \]

\[\hat{H}c_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ} = E_nc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + E_mc_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}\nonumber \]

\[∂/t c _{n ψ n} (x) e ^{-iE _n t/ +} c _m ψ _m (x) e ^{-iE _m t/ =} - [(i E _{m c m} e ^{-iE m t/ ψ} _m (x)) /] - [(i E _n c _n e - iE ^{n t/}ψ _n (x)) /]\ nonumber\]

combinar todas las constantes (excepto E) en c _n y c _m

\[iћ [-[(ic_me^{-iE_mt/ ћ}Ψ_m(x))/ћ]-[(ic_ne^-iEnt/ћ Ψ_n(x))/ћ]]=E_nc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + E_mc_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}\nonumber \]

\[Since \hat{H}Ψ(x,t) and iћ ∂Ψ(x,y)/∂t are equal, they satisfy the time-dependent equation. \nonumber \]

4.26

Empezando con

\[ \langle x \rangle = \int \psi^*(x,t) x \psi(x,t) dx \nonumber \]

y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, demuestran que

\[\dfrac{d\langle x \rangle }{dt}=\int \psi^* \dfrac{i}{\hbar}(\hat H x- x\hat H)\psi dx \nonumber \]

Teniendo en cuenta que

\[\hat H = \dfrac {-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}+V(x)\nonumber \]

demostrar que

\[\hat H x- x\hat H = -2 \dfrac {\hbar^2}{2m} \dfrac{d}{dx} = -\dfrac {\hbar^2}{m} \dfrac {i}{\hbar} \hat P_x = -\dfrac {ih}{m}\hat P_x\nonumber \]

4.28

Derivar la condición en los operadores que surge de forzar los valores propios a ser reales con conjugados complejos.

Solución

Comenzando con un problema de autovalor con un\(\hat{G}\) como nuestro operador reconocemos

\[\hat{G}\psi = \lambda\psi\nonumber \]

Resolviendo para nuestro propio valor debemos multiplicar por nuestra compleja función de onda conjugada e integrar ambos lados para ver

\[\int\psi^*\hat{G}\psi d\tau = \int\psi^*\lambda\psi d\tau = \lambda\int\psi^*\psi d\tau =\lambda\nonumber \]

Podemos repetir este cálculo pero con un complejo conjugado de nuestro problema inicial de valor propio

\[\hat{G}^*\psi^* = \lambda^*\psi^*\nonumber \]

Resolviendo por nuestro propio valor multiplicamos\(\psi\) e integramos ambos lados para encontrar eso

\[\int\psi\hat{G}^*\psi^* d\tau = \int\psi\lambda^*\psi^* d\tau = \lambda^*\int\psi\psi^* d\tau =\lambda\nonumber \]

Ya que restringimos\(\lambda\) a ser reales ambos problemas de valor propio devuelven el mismo valor propio. Entonces podemos relacionar el lado operador de ambas ecuaciones para saber que

\[\boxed{\int\psi^*\hat{G}\psi d\tau=\int\psi\hat{G}^*\psi^* d\tau}\nonumber \]

4.31

Demostrar que el operador de posición es hermitiano.

Solución

Debemos ver si el operador satisface el siguiente requisito para estar en Hermitian:

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{A}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{A}\psi\,dx\nonumber \]

Sustituir\(\hat{X}\)\(\hat{A}\) en la ecuación anterior:

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{A}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{A}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{X}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{X}\psi)^*\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}^*\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

Desde\(\hat{X}^* \equiv \hat{X}\):

\[\int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

Por lo tanto, el Operador de Posición es Hermitiano.

4.31

Demostrar que el operador de momentum es un hermitiano

Solución

Hermitiano:\(\int\psi_{j}^{*}\hat{H}\psi_{i}dx\)

Operador Momentum:\(\hat{P} = -i\hbar \dfrac{d}{dx}\)

Primero comenzaremos mostrándote\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{j}(-i\hbar \dfrac{d}{dx})psi_{i}dx\nonumber \]

\(\dfrac{d\psi_{i}}{dx} dx = d\psi_{i}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{j}(-i\hbar \dfrac{d}{dx})psi_{i}dx\)= i\(\hbar \int_{-\infty}^{\infty} psi_{j} d\psi_{i}\)

Usando integración por partes con u =\ psi_ {j} *\ y dv = d\ psi_ {i}

Podemos notar ahora que para una partícula confinada el producto\ psi_ {j} ^ {*}\ psi_ {i} irá a cero en cada uno de los puntos finales

Obtenemos al final\(-i\hbar \dfrac{d}{dx}\) =\(-i\hbar \dfrac{d}{dx}\) → operador de impulso

4.32

¿Cuáles de los siguientes operadores son hermitianos?

1. \(x\),
2. \(d/dx\)
3. \(hd^2/dx^2\)
4. \(id^2/dx^2\)

Solución

Un Operador Hermitiano\(\hat{A}\) satisface

\[<Ψ^*|A|Ψ> = <Ψ|A^*|Ψ*> \nonumber \]

x

\[ \int Ψ*xΨdx = \int ΨxΨ*dx\nonumber \]

donde\(x^* = x\).

El operador\(x\) es hermitiano

d/dx

\[\int Ψ* d/dxΨdx\nonumber \]

\[= \int Ψ* dΨ\nonumber \]

Aquí podemos usar Integración por Partes\ int vdu = uv +\ int udv con v=ψ* y dv = dψ

\[= [Ψ*Ψ] - \int ΨdΨ*\nonumber \]

[^*ψ] evaluado en el infinito y el infinito negativo es 0, debido a la suposición de que esta función de onda se acerca a 0 como uno se extiende hasta el infinito en ambas direcciones

\[= -\int Ψd/dxΨ*dx\nonumber \]

Aquí insertamos dx/dx en la integral

\[= \int Ψ(-d/dx)Ψ*dx\nonumber \]

d/dx* = d/dx, no -d/dx, por lo que este operador no es hermitiano.

 

hd ² /dx ²

\[\int Ψ*h(d^2/dx^2)Ψdx\nonumber \]

\[= h\int Ψ*(d^2/dx)Ψ\nonumber \]

Aquí podemos usar Integración por Partes\ int vdu = uv +\ int udv con u=ψ* y dv=d (dψ/dx)

\[= h[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ/dx)dΨ*\nonumber \]

\[= h[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ*/dx)dΨ\nonumber \]

[ψ*dψ/dx] evaluado en infinito y el infinito negativo es 0, debido a la suposición de que esta función de onda se acerca a 0 como uno se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Esto implica que ese Dψ/dx, por ejemplo, también se acerque a 0.

\[= - h\int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

Aquí podemos usar Integración por Partes\ int vdu = uv +\ int udv con u=dψ*/dx y dv=dψ

\[=-h( [ΨdΨ*/dx] - \int Ψd^2Ψ*/dx\nonumber \]

[ψ*dψ/dx] evaluado en infinito y el infinito negativo es 0, debido a la suposición de que esta función de onda se acerca a 0 como uno se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Esto implica que ese Dψ*/dx, por ejemplo, también se acerca a 0.

\[= h\int Ψ(d^2Ψ*/dx)\nonumber \]

\[= h\int Ψ(d^2Ψ*/dx^2)dx \nonumber \]

\[= \int Ψh(d^2/dx^2)Ψ*dx \nonumber \]

h (d ² /dx ²) * = h (d ² /dx ²), por lo que este operador es hermitiano

 

id ² /dx ²

\[\int Ψ*i(d^2/dx^2)Ψdx\nonumber \]

\[= i\int Ψ*(d^2/dx)Ψ\nonumber \]

Aquí podemos usar Integración por Partes

\[ \int vdu = uv + \int udv\nonumber \]

con U=ψ* y dv=d (dψ/dx)

\[= i[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ/dx)dΨ*\nonumber \]

\[= i[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

[ψ*dψ/dx] evaluado en infinito y el infinito negativo es 0, debido a la suposición de que esta función de onda se acerca a 0 como uno se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Esto implica que ese Dψ/dx, por ejemplo, también se acerque a 0.

\[= - i\int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

Aquí podemos usar Integración por Partes\ int vdu = uv +\ int udv con u=dψ*/dx y dv=dψ

\[=-i( [ΨdΨ*/dx] - \int Ψd^2Ψ*/dx\nonumber \]

[ψ*dψ/dx] evaluado en infinito y el infinito negativo es 0, debido a la suposición de que esta función de onda se acerca a 0 como uno se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Esto implica que ese Dψ*/dx, por ejemplo, también se acerque a 0.

\[= i\int Ψ(d^2Ψ*/dx)\nonumber \]

\[= i\int Ψ(d^2Ψ*/dx^2)dx \nonumber \]

\[= \int Ψi(d^2/dx^2)Ψ*dx \nonumber \]

\[i(d^2/dx^2)* = -i(d^2/dx^2)\nonumber \]

por lo que este operador NO es hermitiano

4.32

Determine si los siguientes operadores son hermitianos y si viajan:

\[\hat{A}=i \dfrac{d}{dx}\nonumber \]

y

\[\hat{B}=i \dfrac{d^2}{dx^2}\nonumber \]

Dado que -\(\infty\) <x<\(\infty\) y las funciones de los operadores se comportan bien.

Solución

Si el operador cumple esta condición es hermitiano

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(x\right)\hat{A}f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(x\right)\hat{A}f^*\left(x\right)dx\nonumber \]

A)

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(i\dfrac{df}{dx}\right)dx=i\int_{-\infty}^{\infty} f^*\dfrac{df}{dx}dx=i\left([_{-\infty}^{\infty} f^* f]-\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}dx\right)\nonumber \]

\[=-i\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}dx=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(-i\dfrac{d}{dx}\right)f^*dx\nonumber \]

\[\int_{-\infty}^{\infty} f\left(i\dfrac{d}{dx}\right)^*f^*dx\nonumber \]

Este operador es hermitiano

B)

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(i\dfrac{d^2f}{dx^2}\right)dx=[_{-\infty}^{\infty} f^* i\dfrac{df}{dx}]-\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{df^*}{dx}\dfrac{df}{dx}dx\nonumber \]

\[=-i[_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}]+i\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{d^2f^*}{dx^2}dx\nonumber \]

\[=-\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{id^2}{dx^2}^*f^*dx\nonumber \]

Este operador no es hermitiano

Si los operadores conmutan tienen que cumplir con esta condición

\[\hat{A}\hat{B}f=\hat{B}\hat{A}f\nonumber \]

\[\hat{A}\hat{B}f=\dfrac{id}{dx}\left(\dfrac{d^2f}{dx^2}\right)=\dfrac{id^3f}{dx^3}\nonumber \]

\[\hat{B}\hat{A}f=\dfrac{id^2}{dx^2}\left(\dfrac{df}{dx}\right)=\dfrac{id^3f}{dx^3}\nonumber \]

Este par de operadores conmuta.

4.34

Considera dos funciones de onda $\ psi_1 (x) = A\ sin (k_1x) + B\ cos (k_1x) $y

\[\psi_2(x) = C\sin(k_2x) + D\cos(k_2x)\nonumber \]

Dadas las condiciones límite son:

\[\psi(0) = 0\nonumber \]

y

\[\dfrac{d\psi_1}{dx} = \dfrac{d\psi_2}{dx} \;\;\; at x=0\nonumber \]

\[A+B = C, k_1(A-B) = k_2C\nonumber \]

y dada una expresión de

$R =\ dfrac {B^2} {A^2} $

Derivar la expresión más simple de\(R\) basado en los términos de las condiciones de límite proporcionadas anteriormente.

Solución

Desde

$A+B = C, k_1 (A-B) = K_2C$,

$k_1 (A-B) = k_2 (A+B) $

$K_1a - K_1b = K_2a + K_2B$

$ (k_1 - k_2) A = (k_1 + k_2) B$

Por lo tanto,

$\ dfrac {B} {A} =\ dfrac {k_1 - k_2} {k_1 + k_2} $

$R =\ dfrac {B^2} {A^2} =\ izquierda (\ dfrac {B} {A}\ derecha) ^2=\ izquierda (\ dfrac {k_1 - k2} {k_1 + k_2}\ derecha) ^2$

4.34

Una partícula se mueve en un campo. A mitad de camino a través del campo, hay una línea que representa la energía potencial. A la izquierda de la línea, la energía potencial está\[x < 0\nonumber \] y a la derecha de la línea está la energía potencial\[x > 0\nonumber \]. Si la energía de la partícula es menor que la línea de energía potencial, ¿se reflejará la partícula cuando su energía sea mayor que la altura de la barrera de energía potencial?

Solución

Cuando\[x <0\nonumber \] la ecuación de Schrödinger es la siguiente:

\[\dfrac{-\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^2\psi_{1}}{dx^2} = E\psi_{1}\nonumber \]

y la solución a esta ecuación es:

\[\psi_1(x)= Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}\nonumber \]

donde

\[k_1 = (\dfrac{2mE}{\hbar^2})^{1/2}\nonumber \]

Región Dos donde\(x>0\):

\[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi_2}{dx^2}+V_0 \psi_2= E\psi_2\nonumber \]

y la solución a la ecuación es:

\[\psi_2(x)= Ce^{ik_2x}+ De^{-ik_2x}\nonumber \]

y

\[k_2= [\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}]^{1/2}\nonumber \]

Observe la diferencia entre las dos ecuaciones de Schrödinger. La ecuación uno no tiene un componente de energía potencial porque es antes que el campo de energía potencial, por lo tanto, tenga cero energía potencial. Después del campo de energía potencial, la ecuación de Schrödinger tiene un componente de energía potencial porque la partícula tiene energía potencial en este momento.

Cuando resuelves las soluciones diferenciales a las ecuaciones de Schrödinger encuentras que la cantidad que se refleja hacia atrás de una partícula por la línea es igual a la cantidad que se transmite después de la línea. Esto es todo lo que podemos averiguar para la información dada. Sin embargo, si resolvemos esta solución para cuando la Energía de la partícula es mayor que la línea de energía potencial y comparamos las soluciones diferenciales con las cuatro funciones de onda entonces encontramos que todas las partículas serán reflejadas por la barrera.