4.6: Los operadores de desplazamiento permiten una precisión infinita
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- Conectar el principio de incertidumbre de Heisenberg con las relaciones de conmutación.
- Desarrollar competencia en el cálculo del conmutador de dos operadores.
Si dos operadores conmutan, ambas cantidades se pueden medir al mismo tiempo con una precisión infinita, si no, entonces hay una compensación en la precisión en la medición para una cantidad frente a la otra. Esta es la representación matemática del principio de incertidumbre de Heisenberg.
Operadores de Desplazamiento
Una propiedad importante de los operadores es que el orden de operación importa. Así, en general
\[\hat{A}{\hat{E}f(x)} \not= \hat{E}{\hat{A}f(x)} \nonumber \]
a menos que los dos operadores conmuten. Dos operadores conmutan si la siguiente ecuación es verdadera:
\[\left[\hat{A},\hat{E}\right] = \hat{A}\hat{E} - \hat{E}\hat{A} = 0 \nonumber \]
Para determinar si dos operadores conmutan primero operan\(\hat{A}\hat{E}\) en una función\(f(x)\). Entonces opere\(\hat{E}\hat{A}\) la misma función\(f(x)\). Si se obtiene la misma respuesta restando las dos funciones será igual a cero y los dos operadores viajarán.on
Si dos operadores conmutan, entonces pueden tener el mismo conjunto de funciones propias. Por definición, dos operadores\(\hat {A}\) y\(\hat {B}\) conmutar si el efecto de aplicar\(\hat {A}\) entonces\(\hat {B}\) es el mismo que aplicar\(\hat {B}\) entonces\(\hat {A}\), i.e.
\[\hat {A}\hat {B} = \hat {B} \hat {A}. \nonumber \]
Por ejemplo, las operaciones cepillarse los dientes y peinarse el pelo conmutan, mientras que las operaciones de vestirse y darse una ducha no lo hacen. Este teorema es muy importante. Si dos operadores conmutan y en consecuencia tienen el mismo conjunto de funciones propias, entonces las cantidades físicas correspondientes pueden evaluarse o medirse exactamente simultáneamente sin límite en la incertidumbre. Como se mencionó anteriormente, los valores propios de los operadores corresponden a los valores medidos.
Si\(\hat {A}\) y\(\hat {B}\) conmutar y\(ψ\) es una función propia de\(\hat {A}\) con valor propio\(b\), entonces
\[\hat {B} \hat {A} \psi = \hat {A} \hat {B} \psi = \hat {A} b \psi = b \hat {A} \psi \label {4-49} \]
La ecuación\(\ref{4-49}\) dice que\(\hat {A} \psi \) es una función propia de\(\hat {B}\) con valor propio\(b\), lo que significa que cuando\(\hat {A}\) opera sobre\(ψ\), no puede cambiar\(ψ\). A lo sumo,\(\hat {A}\) operar en\(ψ\) puede producir tiempos constantes\(ψ\).
\[\hat {A} \psi = a \psi \label {4-50} \]
\[\hat {B} (\hat {A} \psi ) = \hat {B} (a \psi ) = a \hat {B} \psi = ab\psi = b (a \psi ) \label {4-51} \]
\(\ref{4-51}\)La ecuación muestra que la ecuación\(\ref{4-50}\) es consistente con la ecuación\(\ref{4-49}\). En consecuencia\(ψ\) también es una función propia de\(\hat {A}\) con valor propio\(a\).
¿Los siguientes pares de operadores conmutan?
- \(\hat{A} = \dfrac{d}{dx} \nonumber\)y\(\hat{E} = x^2 \nonumber\)
- \(\hat{B}= \dfrac {h} {x} \nonumber\)y\(\hat{C}\{f(x)\} = f(x) +3 \nonumber\)
- \(\hat{J} = 3x\)y\(\hat{O} = x^{-1}\)
- Solución a
-
Esto requiere evaluar\(\left[\hat{A},\hat{E}\right]\), lo que requiere resolver\(\hat{E} \{\hat{A} f(x)\}\) por\(\hat{A} \{\hat{E} f(x)\} \) y para la función de onda arbitraria\(f(x)\) y preguntar si son iguales.
\[\hat{A} \{\hat{E} f(x)\} = \hat{A}\{ x^2 f(x) \}= \dfrac{d}{dx} \{ x^2 f(x)\} = 2xf(x) + x^2 f'(x) \nonumber \]
A partir de la regla de diferenciación del producto.
\[\hat{E} \{\hat{A}f(x)\} = \hat{E}\{f'(x)\} = x^2 f'(x) \nonumber \]
Ahora pregunta si son iguales
\[\left[\hat{A},\hat{E}\right] = 2x f(x) + x^2 f'(x) - x^2f'(x) = 2x f(x) \not= 0 \nonumber \]
Por lo tanto los dos operadores no conmutan.
- Solución b
- Esto requiere evaluar\(\left[\hat{B},\hat{C}\right]\) como en Ejemplo 4.6.1
.
\[\hat{B} \{\hat{C}f(x)\} = \hat{B}\{f(x) +3\} = \dfrac {h}{x} (f(x) +3) = \dfrac {h f(x)}{x} + \dfrac{3h}{x} \nonumber \]
\[\hat{C} \{\hat{B}f(x)\} = \hat{C} \{ \dfrac {h} {x} f(x)\} = \dfrac {h f(x)} {x} +3 \nonumber \]
Ahora pregunta si son iguales
\[\left[\hat{B},\hat{C}\right] = \dfrac {h f(x)} {x} + \dfrac {3h} {x} - \dfrac {h f(x)} {x} -3 \not= 0\nonumber \]
Los dos operadores no se conmutan.
- Solución c
- Esto requiere evaluar\(\left[\hat{J},\hat{O}\right]\)
\[\hat{J} \{\hat{O}f(x) \} = \hat{J} \{f(x)3x\} = f(x)3x/x = 3f(x) \nonumber \]
\[\hat{O} \{\hat{J}f(x) \}= \hat{O} \{\dfrac{f(x)}{x}\} = \dfrac{f(x)3x}{x} = 3f(x) \nonumber \]
\[\left[\hat{J},\hat{O}\right] = 3f(x) - 3f(x) = 0 \nonumber \]
Debido a que la diferencia es cero, los dos operadores conmutan.
Principio general de incertidumbre de Heisenberg
Si bien aquí no se probará, existe una declaración general del principio de incertidumbre en cuanto a la propiedad de conmutación de los operadores. Si dos operadores\(\hat {A}\) y\(\hat {B}\) no conmutan, entonces las incertidumbres (desviaciones estándar\(σ\)) en las cantidades físicas asociadas a estos operadores deben satisfacer
\[\sigma _A \sigma _B \ge \left| \int \psi ^* [ \hat {A} \hat {B} - \hat {B} \hat {A} ] \psi \,d\tau \right| \label{4-52} \]
donde la integral dentro de los corchetes se llama el conmutador, y ││significa el módulo o valor absoluto. Si\(\hat {A}\) y\(\hat {B}\) conmutar, entonces el lado derecho de la Ecuación\(\ref{4-52}\) es cero, por lo que cualquiera o ambos\(σ_A\) y\(σ_B\) podría ser cero, y no hay restricción en las incertidumbres en las mediciones de los valores propios\(a\) y\(b\). Si\(\hat {A}\) y\(\hat {B}\) no se conmuta, entonces el lado derecho de la Ecuación no\(\ref{4-52}\) será cero, y\(σ_A\) ni tampoco\(σ_B\) puede ser cero a menos que el otro sea infinito. En consecuencia, tanto a como b no pueden ser valores propios de las mismas funciones de onda y no pueden medirse simultáneamente con precisión arbitraria.
Demostrar que el conmutador para posición e impulso en una dimensión es igual\(–i ħ\) y que el lado derecho de la Ecuación\(\ref{4-52}\) por lo tanto es igual a\(ħ/2\) dar\(\sigma _x \sigma _{px} \ge \frac {\hbar}{2}\).
Aplicaciones
Los operadores son muy comunes con una variedad de propósitos. Se utilizan para averiguar la energía de una función de onda usando la ecuación de Schrödinger.
\[\hat{H}\psi = E\psi \nonumber \]
También ayudan a explicar las observaciones realizadas en el experimentalmente. Un ejemplo de ello es la relación entre la magnitud del momento angular y los componentes.
\[\left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_x\right] = \left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_y\right] = \left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_z\right] = 0 \nonumber \]
Sin embargo, los componentes no se conmutan por sí mismos. Una propiedad adicional de los viajeros que conmutan es que ambas cantidades se pueden medir simultáneamente. Así, la magnitud del momento angular y UNO de los componentes (generalmente z) pueden conocerse al mismo tiempo sin embargo, NADA se sabe sobre los demás componentes.
Las cantidades físicas correspondientes a los operadores que conmutan se pueden medir simultáneamente con cualquier precisión.
Determine si los siguientes dos operadores conmutan:
\[\hat{K} = \alpha \displaystyle \int {[1]}^{[\infty]} d[x] \nonumber \]
y
\[\hat{H} = d/dx\nonumber \]
- Solución
-
Evaluar
\[\left[\hat{K},\hat{H}\right]\nonumber \]
Determine si los siguientes dos operadores conmutan:
\[\hat{I} = 5\nonumber \]
y
\[\hat{L} = \displaystyle \int_{[1]}^{[\infty]} d[x]\nonumber \]
- Solución
-
El operador de identidad,\( \hat{I} \) es un número real y se traslada con todo. Así, estos dos operadores conmutan. También podemos evaluar directamente el conmutador:
\[\left[\hat{I},\hat{L}\right]\nonumber \]
\[ \left[\hat{I},\hat{L}\right]\nonumber f(x) = 5 \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) d(x) \nonumber - \displaystyle \int_{1}^{\infty} 5 f(x) d(x)\nonumber = 0 \nonumber \]
Demostrar que los componentes del momento angular no se conmutan.
\[ \begin{align*} \hat{L}_x &= -i \hbar \left[ -\sin \left(\phi \dfrac {\delta} {\delta \theta} \right) - \cot (\Theta) \cos \left( \phi \dfrac {\delta} {\delta \phi} \right) \right] \\[4pt] \hat{L}_y &= -i \hbar \left[ \cos \left(\phi \dfrac {\delta} {\delta \theta} \right) - \cot (\Theta) \cos \left( \phi \dfrac {\delta} {\delta \phi} \right) \right] \\[4pt] \hat{L}_z &= -i\hbar \dfrac {\delta} {\delta\theta} \end{align*} \nonumber \]
- Solución
-
Esto requiere evaluar a los siguientes commucators:
\[\left[\hat{L}_z,\hat{L}_x\right] = i\hbar \hat{L}_y \nonumber \]
\[\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right] = i\hbar \hat{L}_z \nonumber \]
\[\left[\hat{L}_y,\hat{L}_z\right] = i\hbar \hat{L}_x \nonumber \]
Referencias
- Gohberg, I. Teoría básica del operador; Birkhäuser: Boston, 2001
- McQuarrie, D.A. Quantum Chemistry, 2a Edición; Libros de Ciencias Universitarias: Sausalito, 2008
- Schechter, M. Métodos Operadores en Mecánica Cuántica; Publicaciones Dover, 2003
Colaboradores y Atribuciones
Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski