5.7: Los polinomios hermitas son funciones pares o impares
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- Comprender las propiedades clave de los polinomios hermitas incluyendo ortogonalidad y simetría.
- Ser competente en el uso de simetrías de integrands para resolver rápidamente integrales.
Los polinomios hermitas fueron definidos por Laplace (1810) aunque en forma poco reconocible, y estudiados en detalle por Chebyshev (1859). La obra de Chebyshev fue pasada por alto y fueron nombradas más tarde en honor a Charles Hermite quien escribió en los polinomios en 1864 describiéndolos como nuevos. En consecuencia, no eran nuevos aunque en 1865 documentos posteriores Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales. Los seis primeros polinomios Hermite se representan en la Figura 5.7.1 .
Cualquier polinomio Hermite se\(H_n(x)\) puede generar a partir de uno anterior a\(H_{n-1}(x)\) través de lo siguiente usando la relación de recurrencia
\[ H_{n+1} (x)=2xH_n (x)-2nH_{n-1} (x). \label{5.7.2} \]
Los polinomios hermitas son simétricos
Dejar\(f(x)\) ser una función de valor real de una variable real.
- Entonces\(f\) es incluso si la siguiente ecuación se mantiene para todos x y -x en el dominio de f\[f(x) = f(-x) \nonumber \]
- Entonces\(f\) es impar si la siguiente ecuación se mantiene para todos x y -x en el dominio de f\[-f(x) = f(-x) \nonumber \]
Incluso e impar son términos utilizados para describir funciones particularmente bien educadas. Una función par es simétrica alrededor del eje y (Figura 5.7.2 ; left). Es decir, si reflejamos la gráfica de la función en el\(y\) eje -entonces no cambia. Formalmente, decimos que\(f\) es aunque, para todos\(x\) y\(−x\) en el dominio de\(f\), tenemos
\[f(-x)=f(x) \nonumber \]
Dos ejemplos de funciones pares son\(f(x)=x^2\) y\(f(x)=\cos x\).
Una función impar tiene simetría rotacional de orden dos sobre el origen (Figura 5.7.2 ; middle). Es decir, si giramos la gráfica de la función 180° sobre el origen, entonces no cambia. Formalmente, decimos que ff es extraño si, para todos\(x\) y\(−x\) en el dominio de\(f\), tenemos
\[f(-x)=-f(x) \nonumber \]
Ejemplos de funciones impares son\(f(x)=x^3\) y\(f(x)=\sin x\).
Naturalmente, no todas las funciones pueden clasificarse como pares o impares. Por ejemplo que\(f=x^3+1\) se muestra en el lado derecho de la Figura 5.7.2 , no es ninguno.
También se puede pensar en estas propiedades como condiciones de simetría en el origen. Más simetrías en el espacio 3D se discuten en la Teoría de Grupos.
Sin pruebas, podemos identificar varias características clave que involucran propiedades de multiplicación de funciones pares e impares:
- El producto de dos funciones pares es una función par.
- El producto de dos funciones impares es una función par.
- El producto de una función par y una función impar es una función impar.
Esto se puede mostrar gráficamente como una tabla de productos como la de la Tabla 5.7.1 .
| Mesa de productos | Función impar (antisimétrica) | Función par (simétrica) | Sin simetría (tampoco) |
|---|---|---|---|
| Función impar (antisimétrica) | Función par (simétrica) | Función impar (antisimétrica) | quien sabe |
| Función par (simétrica) | Función impar (antisimétrica) | Función par (simétrica) | quien sabe |
| Sin simetría (tampoco) | quien sabe | quien sabe | quien sabe |
Observe que los polinomios de Hermite en la Figura 5.7.1 oscilan de par a impar. Podemos aprovechar ese aspecto en nuestro cálculo de las funciones de onda del Oscilador Armónico. El polinomio hermite es una función par o impar que depende de su grado\(n\). Basado en
\[H_n(-x) = (-1)^n H_n(x) \label{5.7.3} \]
- \(H_n(x)\)es una función par, cuando\(n\) es par.
- \(H_n(x)\)es una función impar, cuando\(n\) es impar.
Integración sobre funciones simétricas
A menudo se consideran integrales de la forma
\[I=\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x \nonumber \]
Si\(f\) es impar o par, entonces a veces puedes hacer más fácil resolver esta integral. Por ejemplo, podemos reescribir esa integral de la siguiente manera:
\[\begin{align} I=\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x &= \int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^a f(-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \label{intsym} \end{align} \]
Para una función par, tenemos\(f(-x)=f(x)\) y la ecuación\ ref {intsym} se puede simplificar
\[\begin{align*} I &= \int_0^a f(-x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \\[4pt] &=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \end{align*} \nonumber \]
Para una función impar, tenemos\(f(-x)=-f(x)\) y Ecuación\ ref {intsym} se puede simplificar
\[\begin{align*} I &= -\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x + \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \\[4pt] &=0 \end{align*} \nonumber \]
Eso es lo que significa simplificar la integración: la integral de una función impar o par a lo largo del intervalo se\([−L,L]\) puede poner en una forma más agradable (y a veces podemos ver que desaparece sin siquiera computar una integral).
Técnicamente, evaluar la ortogonalidad de los polinomios hermitas requiere integrarse sobre la función de\(\exp(-x^2)\) peso (Ecuaciones\(\ref{1}\) y\(\ref{2}\)).
Solución
Para los polinomios Hermite\(H_n(x)\), el producto interno relevante (usando Notación Dirac)
\[ \langle f,g \rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)g(x)\color{red}{\exp(-x^2)}\,\mathrm dx \nonumber \]
Si bien el\(H_2(x)H_3(x)\) producto es de hecho una función impar (Table 5.7.1 ), mientras que\(exp(−x^2)\) es par. Su producto es extraño, y por lo tanto\(\langle f,g \rangle\) ciertamente debería ser cero.
La simetría es un aspecto importante de la mecánica cuántica y las matemáticas, especialmente en el cálculo de integrales. Usando esta simetría, las integrales pueden identificarse para que sean iguales a cero sin resolverlas explícitamente. Por ejemplo, la integral de un integrando impar sobre todos los valores posibles siempre será cero independientemente de la naturaleza exacta de la función:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx= 0 \nonumber \]
Esto simplifica enormemente los cálculos como se demuestra en los siguientes capítulos.
Los polinomios hermitas son ortogonales
Los polinomios hermitas\(H_n(x)\) son polinomios de grado n para n = 0, 1, 2, 3 y forman un conjunto ortogonal de funciones para la función de peso\(e^{-x^2/2}\). La relación exacta es:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x)H_n(x) e^{-x^2/2} dx = 0 \label{1} \]
si\(m \neq n\) y
\[ \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x)H_n(x) e^{-x^2/2} dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \label{2} \]
si\(m = n\).
Esto no se probará, pero puede demostrarse el uso de cualquiera de los polinomios hermitas enumerados en la sección anterior. La propiedad de ortogonalidad adquiere importancia a la hora de resolver los problemas del oscilador armónico. Tenga en cuenta que la integral de la Ecuación\ ref {2} es importante para normalizar las funciones de onda del oscilador armónico cuántico discutidas en la última Sección.
Demostrar que\(H_2(x)\) y\(H_3(x)\) son ortogonales.
Solución
Tenemos que confirmar
\[\int_{-\infty}^{\infty}H_2(x)H_3(x) dx=0 \nonumber \]
o cuando se sustituye
\[\int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-2)(8x^3-12x) dx=0 \nonumber \]
porque dice que necesito mostrar que es ortogonal encendido\( [ -\infty, \infty ] \) o simplemente podemos evaluarlo en un intervalo finito\([−L,L]\), donde\(L\) es una constante.
\[ \begin{align*} \int_{-L}^{L} (4x^2-2)(8x^3-12x) dx &=\left. 8 \left(\dfrac{2 x^6}{3}-2 x^4+\dfrac{3 x^2}{2}\right)\right|_{-L}^{L} \\[4pt] &= 8 \left(\dfrac{2 L^6}{3}-2 L^4+\frac{3 L^2}{2}\right)-8 \left(\dfrac{2 (-L)^6}{3}-2 (-L)^4+\dfrac{3 (-L)^2}{2}\right) \\[4pt] &=0. \end{align*} \nonumber \]
Concluyendo
Los polinomios hermitas son un componente en la función de onda del oscilador armónico que dicta la simetría de las funciones de onda. Si su intervalo de integración es simétrico alrededor de 0, entonces la integral sobre cualquier función impar integrable es cero, sin excepción. Por lo tanto, en cuanto descubras que tu integrando es impar y tu intervalo de integración es simétrico, ya terminaste. Además, para funciones generales, si puedes dividirlas fácilmente en partes pares e impares, solo tienes que considerar la integral sobre la parte par para intervalos de integración simétrica.
Otra propiedad importante es que el producto de dos funciones pares o de dos impares es par, y el producto de una función par y otra impar es impar. Por ejemplo, si ff es par,\(x↦f(x)\sin(x)\) es impar, y por lo tanto la integral sobre ella es cero (siempre que esté bien definida).
Colaboradores y Atribuciones
- StackExchange: alexwlchan
math.stackexchange.com/questi... es-ortogonales