5.E: El oscilador armónico y el rotor rígido (Ejercicios)

Las soluciones para seleccionar preguntas se pueden encontrar en línea.

5.7

Calcular la masa reducida de la molécula de HCl dado que la masa del átomo de H es de 1.0078 amu y la masa del átomo de Cl es de 34.9688 amu. Tenga en cuenta que 1 amu = 1.660565*10 ^-27 kg.

Solución

\[\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \nonumber \]

\[\mu = \dfrac{1.0078\; amu \times 34.9688\; amu}{1.0078\; amu +34.9688\; amu} = 0.9796 \;amu \nonumber \]

\[\mu =0.9796 \;amu \times \dfrac{1.660565 \cdot 10^{-27} \;kg}{1\;amu} =1.627 \times 10^{-27} kg \nonumber \]

5.8

Calcular la masa reducida para las diatómicas Br ₂, Cl _{2 e I 2}.

Solución

De la tabla periódica, las masas atómicas para Br, Cl e I son 79.904, 35.453 y 126.904 respectivamente.

Encubrir la masa atómica a kg.

\(Br= (79.904 \, amu)(1.6606 \times 10^{-27} \,amu/kg)=1.327 \times 10^{-25}\;kg\)\(Cl= (35.453 \, amu )(1.6606 \times 10^{-27} \,amu/kg )=5.887 \times 10^{-26}\;kg\)\(I= (126.904 \, amu )(1.6606 \times 10^{-27} \,amu/kg )=2.107 \times 10^{-25}\;kg\)

 

\[\mu=\dfrac{m}{2} \nonumber \]

por lo tanto

μ _Br2 =1,327x10 ^-25 kg/2=6.635x10 ^-26 kg μ _Cl2 = 5.887x10 ^-26 kg/2 = 2.9435x10 ^-26 kg μ _I2 =2.107x10 ^-25 kg=1.0535x10-25kg

 

La ecuación para una masa reducida (\(\mu\)) de un diatómico es

\[ \mu= \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \nonumber \]

para una molécula diatómica con átomos idénticos (\(m_1=m_2=m\))

 

5.14

⁷⁹ Br ⁷⁹ Br tiene una constante de fuerza de\(240\,N \cdot m^{-1}\). Dada esta información:

1. Calcular la frecuencia vibratoria fundamental y
2. ^{Calcula la energía del punto cero de 79 Br 79 Br.}

Solución

Primero debemos saber qué fórmula usar cuál es

\[\nu_{obs}=\dfrac{1}{2π} \sqrt{\dfrac{k}{\mu}} \nonumber \]

calcular la masa reducida

\[\mu=\dfrac{(79\; amu)^2}{79 \;amu+ 79 \;amu}=39.5 amu \nonumber \]

y convertir a Kg:

1.66e ^-27 kg•amu ^-1

sustituir los valores dados

\[\nu=\dfrac{1}{2π} \sqrt{\dfrac{ 240 kg \;m \;s^{-2} \;s }{39.5 amu \times 1.66 \times 10^{-27} kg \;amu^{-1}}} = 9.63 \times 10^{12} s^{-1} \nonumber \]

También se puede convertir a número de onda (centímetro inverso\(cm^{-1}\)):

\[ \nu_{cm^{-1}}=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{\nu}{c}=\dfrac{9.63\times 10^{12} s^{-1}}{3.0\times 10^{10} cm\;s^{-1}}=321 cm^{-1} \nonumber \]

Energía de punto cero:

\[E_{0}=\dfrac{1}{2}h\nu= \dfrac{1}{2}hc\nu_{cm^{-1}} \nonumber \](fórmula a utilizar)

E ₀ =1/2 (6.626e ^-34 J•s) (2.998e ¹⁰ cm•s ^-1) (321cm ^-1)

E ₀ = 3.19e ^-21 J

5.19

Demostrar que la segunda derivada de una función par es par y la función impar es impar.

Solución

Este es un ejemplo.. no una prueba

La siguiente es una función par:

\[y(x) = a + bx^2 + cx^4 + dx^6 \nonumber \]

por lo

\[\dfrac{dy}{dx}= 2bx + 4cx^3 + 6dx^5 \nonumber \]

y

\[\dfrac{d^2y}{dx^2}= 2b + 12cx^2 + 30dx^4 \nonumber \]

que es una función par.

La siguiente es una función impar:

\[f(x)= ax + bx^3 + cx^5 \nonumber \]

por lo

\[\dfrac{df}{dx}= a + 3bx^2 + 5cx^4 \nonumber \]

y

\[ \dfrac{d^2f}{dx^2}= 6bx + 10cx^3 \nonumber \]

que es una función impar.

5.27

El oscilador armónico Hamiltoniano obedece la propiedad reflectante:

\[\hat{H}(x) = \hat{H}(-x) \nonumber \]

¿Qué dice esto sobre la naturaleza de la función de onda del oscilador armónico?

Solución

El oscilador armónico cambia de impar a par debido a que la propiedad reflectante alternará.

5.28

Si\(\langle x \rangle\) es una función impar, ¿qué dice eso sobre\(p_x\)?

Pista: use

\[\dfrac{d \langle p_x \rangle }{dt} = \left\langle\dfrac{-dV}{dx} \right \rangle \nonumber \]

también conocido como Teorema de Ehrenfest, donde\(V\) está el potencial de un oscilador armónico unidimensional.

De ahí\(\langle p_x \rangle \) que no dependa del tiempo.

5.32

Convertir\(\nabla^2\) from Cartesian coordinates to cylindrical coordinates.

Solución

Tenemos que comenzar con la conversión de coordenadas cartesianas\(\{x, y, z\}\) to cylindrical coordinates \(\{r, \theta , z\}\)

\(x = r\cos\theta\)\(y = r\sin\theta\)\(z = z\)

 

Ahora poniéndolo todo junto

\(\nabla^2 = \dfrac{d^2}{dr^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d^2}{d\theta^2} + \dfrac{d^2}{dz^2}\)

\(r = \sqrt{x^2+y^2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\sin\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

Ahora por regla de cadena obtenemos

\(\dfrac{d}{dx} = \dfrac{dr}{dx}\dfrac{d}{dr} + \dfrac{d\theta}{dx}\dfrac{d}{d\theta}\)

\(\dfrac{d}{dy} = \dfrac{dr}{dy}\dfrac{d}{dr} + \dfrac{d\theta}{dy}\dfrac{d}{d\theta}\)

\(\dfrac{dr}{dx} = \dfrac{x}{r} = \cos\theta\)

\(\dfrac{dr}{dx} = \sin\theta\)

usando diferenciación implícita y tomando las segundas derivadas dará

\(\dfrac{d^2}{dx^2} = \left(\cos\theta\dfrac{d}{dr} - \dfrac{\sin\theta}{r} \dfrac{d}{d\theta}\right)\left(\cos\theta\dfrac{d}{dr} - \dfrac{\sin\theta}{r} \dfrac{d}{d\theta}\right)\)

\(\dfrac{d^2}{dy^2} = \left(\sin\theta\dfrac{d}{dr} + \dfrac{\cos\theta}{r} \dfrac{d}{d\theta}\right)\left(\sin\theta\dfrac{d}{dr} + \dfrac{\cos\theta}{r} \dfrac{d}{d\theta}\right)\)

\(\dfrac{d^2}{dz^2} = \dfrac{d^2}{dz^2}\)

5.37

Encuentre la magnitud del momento angular y la\(z\) componente del momento angular para electrones en una especie similar al hidrógeno con

1. números cuánticos\(n \ = \ 1\),\(l \ = \ 0\),\( m \ = \ 0\); y
2. \( n \ = \ 2\),\( l \ = \ 0\),\( m \ = \ 0\).

Compara tus respuestas y explica tus resultados.

Solución

La función de onda para este problema viene dada por:

\[\psi_{100}=R(r)_{10}Y(\theta,\phi)_{00}=2\left(\frac{Z}{2a_0}\right)^\frac{3}{2}e^\frac{-Zr}{a_0} \nonumber \]

Usando eso:

\[\hat{L}^{2}Y_{lm}(\theta, \phi)=\hbar^{2}l(l+1)Y_{lm}(\theta,\phi), \nonumber \]

y

\[\hat{L_z}=m\hbar \nonumber \]

Entonces\(\hat{L}^{2}=0\) y\(\hat{L_z}=0\). Dado que los valores para\(l\) y\(m\) son los mismos que los anteriores, las respuestas también serían las mismas.

La razón por la que ambas respuestas son las mismas es que los operadores de momento angular solo actúan sobre la parte angular de la función de onda. Dado que solo el número cuántico\(n\) varió entre estos dos estados, los valores propios de momento angular no cambiaron.

5.38

Aplique el operador de momento angular en la dirección x a las siguientes funciones (\(Y(\theta,\phi)\)).

1. \(\dfrac{5\pi}{4} + 7\exp(\pi^2) \)
2. \(3\pi \sin(\theta) \)
3. \(\dfrac{3}{2}\cos(\theta)\exp(i\phi)\)

Solución

Comencemos por afirmar el operador de momento angular en términos de\(\theta\) y\(\phi\).

\[\hat{L_x} = i\hbar\Big(\sin(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \theta} + \cot(\theta)\cos(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \phi}\Big) \nonumber \]

a)\(Y(\theta,\phi) = \dfrac{5\pi}{4} + 7exp(\pi^2) \)

\[\hat{L_x}(\dfrac{5\pi}{4} + 7exp(\pi^2)) = i\hbar\Big(\sin(\phi)\dfrac{\partial \dfrac{5\pi}{4} + 7exp(\pi^2)}{\partial \theta} + \cot(\theta)\cos(\phi)\dfrac{\partial \dfrac{5\pi}{4} + 7exp(\pi^2)}{\partial \phi}\Big) \nonumber \]

\[ = 0 \nonumber \]

La función no depende de más\(\theta\) o menos\(\phi\) cuando el operador de momento angular se aplica a la función, es igual a 0.

b)\(Y(\theta,\phi) = 3\pi \sin(\theta) \)

\[\hat{L_x}(3\pi \sin(\theta)) = i\hbar\Big(\sin(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \theta}3\pi \sin(\theta) + \cot(\theta)\cos(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \phi}3\pi \sin(\theta)\Big) \nonumber \]

\[ = 3i\pi\hbar \sin(\phi)\cos(\theta) \nonumber \]

c)\(Y(\theta,\phi) = \dfrac{3}{2}\cos(\theta)exp(i\phi)\)

\[\hat{L_x}(3\pi \sin(\theta)) = i\hbar\Big(\sin(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \theta}\dfrac{3}{2}\cos(\theta)exp(i\phi) + \cot(\theta)\cos(\phi)\dfrac{\partial}{\partial \phi}\dfrac{3}{2}\cos(\theta)exp(i\phi)\Big) \nonumber \]

\[ = i\hbar\Big( \dfrac{-3}{2}\sin(\phi)\sin(\theta)exp(i\phi) + \dfrac{3i}{2}\cot(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)exp(i\phi)\Big) \nonumber \]

\[ = \dfrac{3i\hbar exp(i\phi)}{2}(i\cot(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta) - \sin(\phi)\sin(\theta)) \nonumber \]

5.41

Usa el hecho de que\(\hat x\) y\(\hat p\) son hermitianos en el operador de números

\[ \hat a_- = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat x +i\hat p) \nonumber \]

\[\hat a_+ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat x -i\hat p) \nonumber \]

y

\[\hat H=\dfrac{\hbar w}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) \nonumber \]

Demostrar que

\[\int \psi^*_v \hat{v} \psi dx \geq 0 \nonumber \]

5.43

Determine la función de onda no normalizada\(\psi_\circ \big(x\big)\) dado eso\(\hat{a}_- = 2^{-1/2}\big(\hat{x}+i\hat{p}\big) \) y eso\(\hat{a_-}\psi_\circ = 0\) Luego encuentre la función de onda no normalizada para\(\psi_1\big(x\big)\) usar\(\hat{a}_+\).

Solución

Se le dio eso\(\hat{a}_-\psi_\circ = 0\), por lo que sustituyendo en\(\hat{a}_-\) para que sepamos

\[\hat{a_-} = 2^{-1/2}\big(\hat{x}+i\hat{p}\big) \psi_\circ = 0 \nonumber \]

Podemos expandir y simplificar esta expresión a una ecuación diferencial parcial de primer orden

\[x\psi_\circ + \dfrac{d\psi_\circ}{dx} = 0 \nonumber \]

Resuelve separando términos similares

\[\dfrac{d\psi_\circ}{\psi_\circ} = -xdx \nonumber \]

Resolviendo esta ecuación para\(\psi_\circ \big(x\big)\) encontramos que

\[\psi_\circ = e^\dfrac{-x^2}{2} \nonumber \]

Para resolver para\(\psi_1\) entendemos eso\(\psi_1\backsim\hat{a_+}\psi_\circ\backsim\hat{x}-i\hat{p}\psi_\circ\), así como eso

\[\hat{x}-i\hat{p}\psi_\circ = x\psi_\circ - \dfrac{d\psi_\circ}{dx} = 2xe^\dfrac{-x^2}{2}=2x\psi_\circ \nonumber \]

Entonces podemos decir

\[\boxed{\psi_1\backsim xe^\dfrac{-x^2}{2}} \nonumber \]

5.46

Encuentra la masa reducida de un electrón en un átomo de tritio. Establecer la masa del Tritio para que sea\(5.008267 \times 10^{-27}\, kg\). Entonces encuentra el valor de la constante de Rydberg para el átomo de Tritio.

Solución

Para resolver, use la ecuación de masa reducida, y para la masa 1 ingrese la masa del electrón, y para la masa 2 ingrese la masa del átomo de Tritio:

\[\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \nonumber \]

Por lo que se alcanza un valor de\(\mu = 9.1077 x 10^{-31} kg\)

5.46

La masa de un átomo de deuterio es\(3.343586 \times 10^{-27}\; kg\). Primero calcule la masa reducida del átomo de deuterio. Luego usando la masa reducida calculada se encuentra la constante de Rydberg para un átomo de deuterio.

Solución

\(\mu\)= masa reducida

\[\mu_{deuterium} = \dfrac{(9.109390 \times 10^{-31} kg) ( 3.343586\times 10^{-27}kg)}{(9.109390 \times 10^{-31} kg + 3.343586\times 10^{-27}kg )} \nonumber \]

\[\mu_{deuterium} = 9.106909 \times 10^{-31}kg = 0.9997277 m_e \nonumber \]

\(R_H\)= Constante de Rydberg

\[R_H = (109,737.2 cm^{-1}) (0.9997277 m_e) = 109,707.3 cm^{-1} \nonumber \]

5.47

¿Cuál es la relación de la frecuencia de líneas espectrales de C-14 que se ha ionizado 5 veces y C-12 que se ha ionizado 5 veces?

Solución

El carbono que ha sido ionizado 5 veces es un ion similar al hidrógeno, por lo que podemos usar el modelo Bohr para encontrar la relación deseada.

\[E = \dfrac{uZ^2e^4n^2}{8ε_0^2h^3c} \nonumber \]

da la colocación de líneas espectrales. El coeficiente de n ² es proporcional a la frecuencia de estas líneas, por lo que la relación de E _C-14 /E _c-12 dará la relación de frecuencia de las líneas. La única diferencia entre estos dos isótopos es la masa reducida u, por lo que el problema se reduce a u _C-14/u _C-12. La masa en amu se utiliza a continuación. m _e = masa de electrón = 5.4858*10 ^-4 amu.

\[\mu_{C-14} = \dfrac{m_em_{c-14}}{m_e + m_{c-14}} = \dfrac{(14.003)(5.4858 \times 10^{-4})}{14.003 + 5.4858 \times 10^{-4}} = 5.485585 \times 10^{-4} \nonumber \]

\[\mu_{C-12} = \dfrac{m_em_{c-12}}{m_e + m_{c-12}}= \dfrac{(12)(5.4858 \times 10^{-4})}{12 + 5.4858 \times 10^{-4}} = 5.485549 \times 10^{-4} \nonumber \]

\[\dfrac{\mu_{C-14}}{\mu_{C-12}} = 1.0000065 \nonumber \]

5.47

Calcular la constante de Rydberg para un átomo de deuterio y el hidrógeno atómico dada la masa reducida de un átomo de deuterio es\(9.106909 \times 10^{-31} kg\) y la masa reducida de hidrógeno es\(9.104431 \times 10^{-31} kg\). Compare ambas respuestas con el resultado experimental (\(109677.6 cm^{-1}\)). Luego determinar la relación de las frecuencias de las líneas en los espectros de hidrógeno atómico y deuterio atómico.

Solución

La constante de Rydberg se encuentra usando

\[R_H=\dfrac{me^4}{8\epsilon_o^2 ch^3} \nonumber \]

Para un átomo de deuterio

 

\[R_H=\dfrac{(9.104431 \times 10^{-31}kg)(1.602 \times 10^{-19} C)^4}{8(8.854 \times 10^{-12} \dfrac{F}{m})^2(2.998 \times 10^{8} \dfrac{m}{s})(6.626 \times 10^{-34} J \cdot s)^3} \nonumber \]

\[R_H=109707.3 cm^{-1} \nonumber \]

Esto es diferente por\( 2.7 \times 10^{-2}\%\).

La relación de las frecuencias de las líneas en los espectros de hidrógeno atómico y deuterio atómico es equivalente a la relación de las constantes de Rydberg que acabamos de encontrar.

\[\dfrac{109707.3\; cm^{-1}}{109677.5\; cm^{-1}}=1.000272 \nonumber \]

\[R_H=\dfrac{(9.106909 \times 10^{-31}kg)(1.602 \times 10^{-19} C)^4}{8(8.854 \times 10^{-12} \dfrac{F}{m})^2(2.998 \times 10^{8} \dfrac{m}{s})(6.626 \times 10^{-34} J \cdot s)^3} \nonumber \]

\[R_H=109677.5 cm^{-1} \nonumber \]

Esto es diferente por\( 9.1\times 10^{-5}\%\).

Para un átomo de hidrógeno

5.46

Encuentra la masa reducida de HCl donde la masa de hidrógeno en 1 amu y la masa de cloruro es de 35 amu.

Solución

\[\mu = \dfrac{m_1 \times m_2}{m_1 + m_2} \nonumber \]

\[\mu = \dfrac{(1.00)(35.00)}{36.00} 1.603 \times 10^{-27} kg = 1.558 \times 10^{-27} kg \nonumber \]