6.3: Los tres componentes del momento angular no se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria
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- Entender cómo medir el momento angular orbital de un electrón alrededor de un núcleo.
- Entender cómo el Principio de Incertidumbre de Heisenburgh se extiende a los momentos angulares orbitales.
- Manipular las permutaciones cíclicas del momento angular que permiten medir simultáneamente dos de los tres proyectos
Considera una partícula descrita por las coordenadas cartesianas\((x, y, z)\equiv \vec{r}\) y sus momentos conjugados\((p_x, p_y, p_z)\equiv \vec{p}\). La definición clásica del momento angular orbital de tal partícula sobre el origen es (es decir, a través del producto cruzado vectorial):
\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \nonumber \]
que se pueden separar en proyecciones en cada uno de los ejes primarios:
\[ \begin{align*} L_x &= y\, p_z - z\, p_y, \label{6.3.1a} \\[4pt] L_y &= z\, p_x - x\, p_z \label{6.3.1b} \\[4pt] L_z &= x\,p_y - y \,p_x \label{6.3.1c} \end{align*} \]
Extendiendo esta discusión a la mecánica cuántica, podemos suponer que los operadores\((\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z)\equiv \vec{L}\) -que representan los componentes del momento angular orbital en la mecánica cuántica- pueden definirse de manera análoga a los componentes correspondientes del momento angular clásico. En otras palabras, vamos a suponer que las ecuaciones anteriores especifican los operadores de momento angular en términos de los operadores de posición y de momento lineal.
En las coordenadas cartesianas, los tres operadores para los componentes de momento angular orbital se pueden escribir como
\[\hat{L}_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \label{6.3.2a} \]
\[ \hat{L}_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \label{6.3.2b} \]
\[ \hat{L}_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \label{6.3.2c} \]
Estos pueden transformarse en operadores en coordenadas polares esféricas estándar,
\[ \begin{align*} x &= r \,\sin\theta\, \cos\varphi \label{6.3.3a} \\[4pt] y &= r\, \sin\theta\, \sin\varphi \label{6.3.3b} \\[4pt] z &=r \cos \theta \label{ 6.3.3c} \end{align*} \]
obtenemos
\[ \begin{align*} \hat{L}_x &= {\rm i}\,\hbar\,\left(\sin\varphi\, \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \cot\theta \cos\varphi\,\dfrac{\partial}{\partial \varphi}\right) \label{6.3.4a} \\[4pt] \hat{L}_y &= -{\rm i} \,\hbar\,\left(\cos\varphi\, \dfrac{\partial}{\partial\theta} -\cot\theta \sin\varphi \,\dfrac{\partial}{\partial \varphi}\right) \label{6.3.4b} \\[4pt] \hat{L}_z &= -{\rm i}\,\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \label{6.3.4c} \end{align*} \]
Podemos introducir un nuevo operador\(\hat{L^2}\):
\[ \begin{align} \hat{L^2} &= \hat{L}_x^{\,2}+\hat{L}_y^{\,2}+\hat{L}_z^{\,2} \label{6.3.5} \\[4pt] &= - \hbar^2\left( \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2} {\partial\varphi^2}\right) \label{6.3.6} \end{align} \]
El problema del valor propio para\(\hat{L^2}\) toma la forma
\[\hat{L^2} | \psi \rangle = \lambda \,\hbar^2 | \psi \rangle \label{6.3.6a} \]
donde\(\psi(r, \theta, \varphi)\) esta la funcion de onda, y\(\lambda\) es un numero. Escribamos
\[ \psi(r, \theta, \varphi) = R(r) \,Y(\theta, \varphi) \label{6.3.6b} \]
Por definición,
\[\boxed{L^2 \,Y_{l}^{m_l} = l\,(l+1)\,\hbar^2\,Y_{l}^{m_l}} \label{6.3.9} \]
donde\(l\) es un entero. Esta es una conclusión importante que argumenta que el momento angular se cuantifica con el cuadrado de la magnitud del momento angular solo capaz de asumir uno del conjunto discreto de valores (Ecuación\(\ref{6.3.9}\)). A partir de esto, se puede expresar la amplitud del momento angular
\[\boxed{ |\vec{L}| =\sqrt{L^2} = \sqrt{l(l+1)} \hbar }\label{6.3.10} \]
A menudo nos referimos a una partícula en un estado con número cuántico de momento angular\(l\) como que tiene momento angular\(l\), en lugar de decir que tiene un momento angular de\(\sqrt{l(l+1)} \hbar\) magnitud, principalmente ya que es incómodo decirlo rápidamente.
Las propiedades de los armónicos esféricos que el componente z del momento angular (\(L_z\)) también se cuantifica y solo puede asumir una de un conjunto discreto de valores
\[ L_z \,Y_{l}^{m_l} = m\,\hbar\,Y_l^{m_l} \label{6.3.11} \]
donde\(m_l\) es un número entero que se encuentra en el rango\(-l\leq m_l \leq l\).
- \(l\)a veces se llama “número cuántico azimutal” o “número cuántico orbital”
- \(m_l\)a veces se llama “número cuántico magnético”
Mediciones Simultáneas
Obsérvese que los observables asociados con\(\hat{L}_x\)\(\hat{L}_y\), y\(\hat{L}_z\) pueden, en principio, ser medidos. Sin embargo, para determinar si se pueden medir simultáneamente con infinita precisión, los operadores correspondientes deben desplazarse. Recuerde que las relaciones fundamentales de conmutación satisfechas por los operadores de posición y momento lineal son:
\[ \begin{align*} [\hat{x}_i, \hat{x}_j] &=0 \label{6.3.12} \\[4pt] [\hat{p}_i, \hat{p}_j] &=0 \label{6.3.13} \\[4pt] [\hat{x}_i, \hat{p}_j] &= {\rm i}\,\hbar \,\delta_{ij} \label{6.3.14} \end{align*} \]
donde\(i\) y\(j\) representan cualquiera\(x\),\(y\), o\(z\). Considere el conmutador de los operadores\(\hat{L}_x\) y\(\hat{L}_z\):
\[ \begin{align*} [\hat{L}_x, \hat{L}_y] & = [(y\,p_z-z\,p_y), (z\,p_x-x \,p_z)] \\[4pt] &= y\,[p_z, z]\,p_x + x\,p_y\,[z, p_z] \label{6.3.15} \\[4pt] &= {\rm i}\,\hbar\,(-y \,p_x+ x\,p_y) \\[4pt] &= {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_z \label{6.3.16} \end{align*} \]
Las permutaciones cíclicas del resultado anterior producen las relaciones de conmutación fundamentales satisfechas por los componentes de un momento angular orbital:
\[[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_z \label{6.3.17a} \]
\[[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_x \label{6.3.17b} \]
\[[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_y \label{6.3.17c} \]
Las tres relaciones de conmutación (Ecuaciones\(\ref{6.3.17a}\) -\(\ref{6.3.17c}\)) son la base de toda la teoría del momento angular en la mecánica cuántica. Siempre que nos encontramos con tres operadores que tienen estas relaciones de conmutación, sabemos que las variables dinámicas que representan tienen propiedades idénticas a las de los componentes de un momento angular (que estamos a punto de derivar). De hecho, asumiremos que cualquiera de los tres operadores que satisfagan las relaciones de conmutación (Ecuaciones\(\ref{6.3.17a}\) -\(\ref{6.3.17c}\)) representan los componentes de algún tipo de momento angular.
Los tres operadores que satisfacen las relaciones de conmutación cíclica representan los componentes de algún tipo de momento angular.
Demostrar que los\(\hat{L}_x\) operadores\(\hat{L^2}\) y conmutan.
Solución
Queremos confirmar\([\hat{L^2}, \hat{L}_x] = 0\) que a partir de la Ecuación\(\ref{6.3.5}\) esto se puede ampliar
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_x] = [\hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2, \hat{L}_x] \nonumber \]
a partir de las propiedades de los conmutadores, esto se puede ampliar
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_x] = [\hat{L}_x^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_y^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_z^2 , \hat{L}_x] \nonumber \]
Sin embargo,
\[[\hat{L}_x^2, \hat{L}_x] = \hat{L}_x^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_x^2 = \hat{L}_x \hat{L}_x \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_x \hat{L}_x = 0\nonumber \]
Entonces
\[ \begin{align*} [\hat{L^2}, \hat{L}_x] &= [\hat{L}_y^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_z^2, \hat{L}_x]\nonumber \\ &= \hat{L}_y^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z^2 \nonumber \\ &= \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y + \hat{L}_z \hat{L}_z \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z \hat{L}_z \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Veamos algunas formas relacionadas que se pueden usar para simplificar la expresión anterior. Los dos primeros términos pueden y los dos términos finales se pueden reescribir como diferentes conmutadores
\[ \begin{align*} [\hat{L}_y , \hat{L}_x] &= \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] \nonumber \\ &= (\hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y) \hat{L}_y + \hat{L}_y (\hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y) \nonumber \\ &= \cancel{\hat{L}_y \hat{L}_x \hat{L}_y} - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y + \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \cancel{\hat{L}_y \hat{L}_x \hat{L}_y} \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Los términos primero y cuarto cancelan, dando
\[[\hat{L}_y , \hat{L}_x] \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] = \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y \nonumber \]
Del mismo modo,
\[[Lz , \hat{L}_x] \hat{L}_z + \hat{L}_z [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = \hat{L}_z \hat{L}_z \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z \hat{L}_z \nonumber \]
Entonces,
\[ \begin{align*} [\hat{L^2} , \hat{L}_x] &= [\hat{L}_y , \hat{L}_x] \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] + [\hat{L}_z , \hat{L}_x] \hat{L}_z + \hat{L}_z [\hat{L}_z , \hat{L}_x]\nonumber \\[4pt] &= - i\hbar \hat{L}_z \hat{L}_y - i\hbar \hat{L}_y \hat{L}_z + i\hbar \hat{L}_y \hat{L}_z + ih \hat{L}_z \hat{L}_y \\[4pt] &= 0 \nonumber \end{align*} \nonumber \]
También se puede mostrar de manera similar que
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_y] = [\hat{L^2}, \hat{L}_z] = 0 \nonumber \]
El ejemplo 6.3.1 muestra que mientras se\(L_z\) puede conocer con certeza,\(L_x\) y\(L_y\) sería desconocido. Esto significa que cada vector con la longitud apropiada y z -componente se puede dibujar para representar\(\vec{L}\), lo que forma un cono (Figura 6.3.1 ). El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por\(l\) y\(m_l\) podría estar en algún lugar de este cono mientras que no se puede definir para un solo sistema (ya que los componentes de\(L\) no conmutan entre sí).
La matemática de las relaciones de conmutación es relativamente sencilla, pero ¿qué significa físicamente para un observable (operador hermitiano) desplazarse con otro observable (operador hermitiano) en mecánica cuántica?
Si dos operadores\(\hat{A}\) y\(\hat{B}\) conmutan entre sí, entonces
\[\hat A \hat B - \hat B \hat A = 0, \nonumber \]
que se puede reorganizar para
\[\hat A \hat B = \hat B \hat A. \nonumber \]
Esto no es una declaración trivial y muchas operaciones no se desplazan y por lo tanto el resultado final depende de cómo haya ordenado las operaciones.
Si recuerda que los operadores actúan sobre estados mecánicos cuánticos y le dan un nuevo estado a cambio, entonces esto significa que con\(\hat{A}\) y\(\hat{B}\) conmutando, el estado que obtiene al dejar\(\hat{A}\) actuar primero y luego\(\hat{B}\) actuar sobre algún estado inicial es el mismo que si dejas primero\(\hat{B}\) y luego\(\hat{A}\) actuar sobre ese estado, es decir,
\[\hat A \hat B | \psi \rangle = \hat B \hat A | \psi \rangle. \nonumber \]
Recuerde que cuando realiza una medición mecánica cuántica, siempre medirá un valor propio de su operador, y después de la medición su estado queda en el estado propio correspondiente. Los autoestados al operador son precisamente aquellos estados para los que no hay incertidumbre en la medición: Siempre medirás el valor propio.
Por lo tanto,\(\hat{B} |a \rangle\) debe ser una función propia de\(\hat{A}\) con valor\(|a \rangle\) propio\(a\) igual que lo es. Eso es esencialmente decir que\(|a \rangle\) es una función propia de\(\hat{B}\).
Un ejemplo clave de esto es since\(\hat{L^2}\) y\(\hat{L}_x\) conmutar (Ejemplo 6.3.1 ) entonces ambos operadores comparten los mismos estados propios. Por lo tanto, no necesitamos resolver dos problemas de eignevalue:
\[\hat{L^2} | \psi \rangle = \lambda | \psi \rangle \nonumber \]
y
\[\hat{L}_x | \psi \rangle = \beta| \psi \rangle \nonumber \]
Si resolvemos uno, ¡entonces conocemos los valores propios (\(| \psi \rangle\)) para el otro!
¿Qué significa cuando algunos observables\(\hat{A}\) conmutan con el hamiltoniano\(\hat{H}\)? Primero, obtenemos todo el resultado de arriba: Hay una base propia simultánea de los estados energéticos y los propios estados de\(\hat{A}\). Esto puede dar lugar a una tremenda simplificación de la tarea de resolver las ecuaciones de Schrödinger. Por ejemplo, el hamiltoniano del átomo de hidrógeno conmuta con\(\hat{L}\), el operador de momento angular, y con\(\hat{L}_z\), su componente z. Esto te dice que puedes clasificar los autoestados por un número cuántico angular y magnético\(l\) y\(m\).
Resumen
En el mundo cuántico se cuantifica el momento angular. El cuadrado de la magnitud del momento angular (determinado por los valores propios del\(\hat{L^2}\) operador) solo puede asumir uno del conjunto discreto de valores
\[L^2 = l(l + 1)\hbar^2 \nonumber \]
o la magnitud del momento angular
\[L = \sqrt{l(l + 1)}\hbar \nonumber \]
con\(l = 0, 1, 2, ... \nonumber\)
El componente z del momento angular (es decir, proyección\(L\) sobre el\(z\) eje) también se cuantifica con
\[L_z= m_{l} \hbar \nonumber \]
con\(m_l = -l, 0-1, ..., 0, ... +l +1, l \nonumber\) por un valor dado de\(l\). De ahí,\(l\) y\(m_l\) son el número cuántico de momento angular y el número cuántico magnético, respectivamente.
Colaboradores y Atribuciones
Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)